Comment reconnaître qu'une fonction admet une asymptote horizontale ou une asymptote verticale - Exercice 2

6 min
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Calculer les limites suivantes.
Que peut-on en déduire graphiquement ?
Question 1

lim⁡x→4+−3x−4\lim\limits_{x\to 4^{+}} \frac{-3}{x-4} qui s'écrit également lim⁡x→4x>4−3x−4{\mathop{\lim }\limits_{\begin{array}{l} {x\to 4} \\ {x>4} \end{array}}} \frac{-3}{x-4}

Correction

Si lim⁡x→nombref(x)=+∞\lim\limits_{x\to \text{nombre}} f(x) =+\infty alors la fonction ff admet une asymptote verticale d'équation x=nombrex=\text{nombre}
Si lim⁡x→nombref(x)=−∞\lim\limits_{x\to \text{nombre}} f(x) =-\infty alors la fonction ff admet une asymptote verticale d'équation x=nombrex=\text{nombre}

lim⁡x→4+−3=−3lim⁡x→4+x−4=0+}\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to 4^{+} } -3} & {=} & {-3} \\ {\lim\limits_{x\to 4^{+} } x-4} & {=} & {0^{+} } \end{array}\right\} par quotient lim⁡x→4+−3x−4=−∞\lim\limits_{x\to 4^{+} } \frac{-3}{x-4} =-\infty .
Interprétation graphique : la courbe CfC_{f} admet une asymptote verticale d'équation x=4x=4.

Ici on a le numérateur vaut −3-3 et il est négatif et le dénominateur x−4x-4 s'approche de 00 de manière positive, lorsque xx tend vers 44 avec xx strictement supérieur à 44.
Le numérateur est négatif et le dénominateur est positif donc le quotient tend vers −∞-\infty .
On peut expliquer le fait que lim⁡x→4+x−4=0+\lim\limits_{x\to 4^{+} } x-4=0^{+} de la manière suivante :
Nous avons dressé le signe de la fonction x↦x−4x\mapsto x-4 ci dessous :

x→4+x\to 4^{+} signifie que xx tend vers 44 mais avec x>4x>4, donc lorsque x>4x>4 on voit bien à l'aide du tableau de signe que nous sommes dans la partie positive.
C'est pour cela que lim⁡x→4+x−4=0+\lim\limits_{x\to 4^{+} } x-4=0^{+} .
Question 2

lim⁡x→2−x+1−4x+8\lim\limits_{x\to 2^{-} } \frac{x+1}{-4x+8} qui s'écrit également lim⁡x→2x<2x+1−4x+8{\mathop{\lim }\limits_{\begin{array}{l} {x\to 2} \\ {x<2} \end{array}}} \frac{x+1}{-4x+8}

Correction
Si lim⁡x→nombref(x)=+∞\lim\limits_{x\to \text{nombre}} f(x) =+\infty alors la fonction ff admet une asymptote verticale d'équation x=nombrex=\text{nombre}
Si lim⁡x→nombref(x)=−∞\lim\limits_{x\to \text{nombre}} f(x) =-\infty alors la fonction ff admet une asymptote verticale d'équation x=nombrex=\text{nombre}

lim⁡x→2−x+1=3lim⁡x→2−−4x+8=0+}\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to 2^{-} } x+1} & {=} & {3} \\ {\lim\limits_{x\to 2^{-} } -4x+8} & {=} & {0^{+} } \end{array}\right\} par quotient lim⁡x→2−x+1−4x+8=+∞\lim\limits_{x\to 2^{-} } \frac{x+1}{-4x+8} =+\infty .
Interprétation graphique : la courbe admet une asymptote verticale d'équation x=2x=2.

Ici on a le numérateur x+1x+1 vaut 33 donc positif et le dénominateur −4x+8-4x+8 s'approche de 00 de manière positive, lorsque xx tend vers 22 avec xx strictement inférieur à 22.
Le numérateur est positif tout comme le dénominateur donc le quotient tend vers +∞+\infty .

On peut expliquer le fait que lim⁡x→2−−4x+8=0+\lim\limits_{x\to 2^{-} } -4x+8=0^{+} de la manière suivante :
Nous avons dressé le signe de la fonction x↦−4x+8x\mapsto -4x+8 ci dessous :

x→2−x\to 2^{-} signifie que xx tend vers 22 mais avec x<2x<2, donc lorsque x<2x<2 on voit bien à l'aide du tableau de signe que nous sommes dans la partie positive. C'est pour cela que lim⁡x→2−−4x+8=0+\lim\limits_{x\to 2^{-} } -4x+8=0^{+} .
Question 3

lim⁡x→1−3x−2−x+1\lim\limits_{x\to 1^{-} } \frac{3x-2}{-x+1} qui s'écrit également lim⁡x→1x<13x−2−x+1{\mathop{\lim }\limits_{\begin{array}{l} {x\to 1} \\ {x<1} \end{array}}} \frac{3x-2}{-x+1}

Correction
Si lim⁡x→nombref(x)=+∞\lim\limits_{x\to \text{nombre}} f(x) =+\infty alors la fonction ff admet une asymptote verticale d'équation x=nombrex=\text{nombre}
Si lim⁡x→nombref(x)=−∞\lim\limits_{x\to \text{nombre}} f(x) =-\infty alors la fonction ff admet une asymptote verticale d'équation x=nombrex=\text{nombre}

lim⁡x→1−3x−2=1lim⁡x→1−−x+1=0+}\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to 1^{-} } 3x-2} & {=} & {1} \\ {\lim\limits_{x\to 1^{-} } -x+1} & {=} & {0^{+} } \end{array}\right\} par quotient lim⁡x→1−3x−2−x+1=+∞\lim\limits_{x\to 1^{-} } \frac{3x-2}{-x+1} =+\infty .
Interprétation graphique : la courbe admet une asymptote verticale d'équation x=1x=1.

Ici, on a le numérateur 3x−23x-2 vaut 11 donc positif et le dénominateur −x+1-x+1 s'approche de 00 de manière positive, lorsque xx tend vers 11 avec xx strictement inférieur à 11.
Le numérateur est positif tout comme le dénominateur donc le quotient tend vers +∞+\infty .
On peut expliquer le fait que lim⁡x→1−−x+1=0+\lim\limits_{x\to 1^{-} } -x+1=0^{+} de la manière suivante :
Nous avons dressé le signe de la fonction x↦−x+1x\mapsto -x+1 ci dessous :

x→1−x\to 1^{-} signifie que xx tend vers 11 mais avec x<1x<1, donc lorsque x<1x<1 on voit bien à l'aide du tableau de signe que nous sommes dans la partie positive.
C'est pour cela que lim⁡x→1−−x+1=0+\lim\limits_{x\to 1^{-} } -x+1=0^{+} .
Question 4

lim⁡x→2−x−5x2−3x+2\lim\limits_{x\to 2^{-} } \frac{x-5}{x^{2}-3x+2} qui s'écrit également lim⁡x→2x<2x−5x2−3x+2{\mathop{\lim }\limits_{\begin{array}{l} {x\to 2} \\ {x<2} \end{array}}} \frac{x-5}{x^{2}-3x+2}

Correction
Dans un premier temps, nous allons étudier le signe du dénominateur x2−3x+2x^{2}-3x+2.
On vérifie facilement que : Δ>0\Delta>0 ; x1=1x_{1}=1 et x1=2x_{1}=2.

Le tableau de signe de x2−3x+2x^{2}-3x+2 est alors :

Il en résulte donc que : lim⁡x→2−x2−3x+2=0−\lim\limits_{x\to 2^{-} } x^{2}-3x+2=0^{-}
Si lim⁡x→nombref(x)=+∞\lim\limits_{x\to \text{nombre}} f(x) =+\infty alors la fonction ff admet une asymptote verticale d'équation x=nombrex=\text{nombre}
Si lim⁡x→nombref(x)=−∞\lim\limits_{x\to \text{nombre}} f(x) =-\infty alors la fonction ff admet une asymptote verticale d'équation x=nombrex=\text{nombre}

lim⁡x→2−x−5=−3lim⁡x→2−x2−3x+2=0−}\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to 2^{-} } x-5} & {=} & {-3} \\ {\lim\limits_{x\to 2^{-} } x^{2}-3x+2} & {=} & {0^{-} } \end{array}\right\} par quotient lim⁡x→2−x−5x2−3x+2=+∞\lim\limits_{x\to 2^{-} } \frac{x-5}{x^{2}-3x+2} =+\infty .
Interprétation graphique : la courbe admet une asymptote verticale d'équation x=2x=2.
Ici, on a le numérateur x−5x-5 vaut −3-3 donc négatif et le dénominateur x2−3x+2x^{2}-3x+2 s'approche de 00 de manière négative, lorsque xx tend vers 22 avec xx strictement inférieur à 22.
Le numérateur est négatif tout comme le dénominateur donc le quotient tend vers +∞+\infty.

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