Etude de fonctions - Exercice 1

$$f$$ est une fonction rationnelle (homographique pour la culture) :)
$$f$$ est alors définie pour tous les réels tels que $$x-6\ne 0$$
Ainsi : $$x-6\ne 0\Rightarrow x\ne 6$$
Cela signifie que $$x=6$$ est $$\red{\text{la valeur interdite.}}$$
Autrement dit, le domaine de définition de $$f$$ s'écrit alors : $$Df=\left]-\infty ;6\right[\cup \left]6;+\infty \right[$$ que l'on peut aussi écrire $$Df=\mathbb{R}-\left\{6\right\}$$

Nous allons déterminer les limites aux bornes du domaine de définition $$Df=\left]-\infty ;6\right[\cup \left]6;+\infty \right[$$ . Nous allons avoir donc $$4$$ limites en tout à traiter.

$$\blue{\text{Première étude : }}$$ $${\mathop{\lim }\limits_{x\to -\infty }} f\left(x\right)$$

$${\mathop{\lim }\limits_{x\to -\infty }} \frac{2x-5}{x-6} ={\mathop{\lim }\limits_{x\to -\infty }} \frac{x\left(\frac{2x-5}{x} \right)}{x\left(\frac{x-6}{x} \right)}$$
$${\mathop{\lim }\limits_{x\to -\infty }} \frac{2x-5}{x-6} ={\mathop{\lim }\limits_{x\to -\infty }} \frac{\left(\frac{2x-5}{x} \right)}{\left(\frac{x-6}{x} \right)}$$
$${\mathop{\lim }\limits_{x\to -\infty }} \frac{2x-5}{x-6} ={\mathop{\lim }\limits_{x\to -\infty }} \frac{\frac{2x}{x} -\frac{5}{x} }{\frac{x}{x} -\frac{6}{x} }$$
$${\mathop{\lim }\limits_{x\to -\infty }} \frac{2x-5}{x-6} ={\mathop{\lim }\limits_{x\to -\infty }} \frac{2-\frac{5}{x} }{1-\frac{6}{x} }$$
Il vient alors que :
$$\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to -\infty } 2-\frac{5}{x} } & {=} & {2 } \\ {\lim\limits_{x\to -\infty } 1-\frac{6}{x}} & {=} & {1} \end{array}\right\}$$ $$\text{\red{par quotient}}$$
$$\text{\purple{Finalement :}}$$

$$\blue{\text{Deuxième étude : }}$$ $$\lim\limits_{x\to 6^{-} } \frac{2x-5}{x-6}$$ que l'on peut aussi écrire $$\lim\limits_{ \begin{array}{l} {x\to 6} \\ {x<6} \end{array} }\frac{2x-5}{x-6}$$

$$\left. \begin{array}{ccc} {{\mathop{\lim }\limits_{\begin{array}{l} {x\to 6} \\ {x<6} \end{array}}} 2x-5} & {=} & {7} \\ {{\mathop{\lim }\limits_{\begin{array}{l} {x\to 6} \\ {x<6} \end{array}}} x-6} & {=} & {0^{-} } \end{array}\right\}$$ $$\text{\red{par quotient}}$$ $$\lim\limits_{ \begin{array}{l} {x\to 6} \\ {x<6} \end{array} }\frac{2x-5}{x-6} =-\infty$$ .

$$\blue{\text{Troisième étude : }}$$ $$\lim\limits_{x\to 6^{+} } \frac{2x-5}{x-6}$$ que l'on peut aussi écrire $$\lim\limits_{ \begin{array}{l} {x\to 6} \\ {x>6} \end{array} }\frac{2x-5}{x-6}$$

$$\left. \begin{array}{ccc} {{\mathop{\lim }\limits_{\begin{array}{l} {x\to 6} \\ {x>6} \end{array}}} 2x-5} & {=} & {7} \\ {{\mathop{\lim }\limits_{\begin{array}{l} {x\to 6} \\ {x>6} \end{array}}} x-6} & {=} & {0^{+} } \end{array}\right\}$$ $$\text{\red{par quotient}}$$ $$\lim\limits_{ \begin{array}{l} {x\to 6} \\ {x>6} \end{array} }\frac{2x-5}{x-6} =+\infty$$ .

$$\blue{\text{Quatrième étude : }}$$ $${\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty }} f\left(x\right)$$

$${\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty }} \frac{2x-5}{x-6} ={\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty }} \frac{x\left(\frac{2x-5}{x} \right)}{x\left(\frac{x-6}{x} \right)}$$
$${\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty }} \frac{2x-5}{x-6} ={\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty }} \frac{\left(\frac{2x-5}{x} \right)}{\left(\frac{x-6}{x} \right)}$$
$${\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty }} \frac{2x-5}{x-6} ={\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty }} \frac{\frac{2x}{x} -\frac{5}{x} }{\frac{x}{x} -\frac{6}{x} }$$
$${\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty }} \frac{2x-5}{x-6} ={\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty }} \frac{2-\frac{5}{x} }{1-\frac{6}{x} }$$
Il vient alors que :
$$\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to +\infty } 2-\frac{5}{x} } & {=} & {2 } \\ {\lim\limits_{x\to +\infty } 1-\frac{6}{x}} & {=} & {1} \end{array}\right\}$$ $$\text{\red{par quotient}}$$
$$\text{\purple{Finalement :}}$$

Nous allons résumer les limites obtenues d'après la question $$2$$ .
Interprétation graphique : la courbe admet une asymptote horizontale d'équation $$y=2$$.
Interprétation graphique : la courbe admet une asymptote horizontale d'équation $$y=2$$.
Interprétation graphique : la courbe admet une asymptote verticale d'équation $$x=6$$.
Interprétation graphique : la courbe admet une asymptote verticale d'équation $$x=6$$.

$$f$$ est dérivable $$\left]-\infty ;6\right[\cup \left]6;+\infty \right[$$
On reconnaît la forme $$\color{red}\boxed{\left(\frac{u}{v} \right)^{'} =\frac{u'v-uv'}{v^{2} }}$$ avec $$u\left(x\right)=2x-5$$ et $$v\left(x\right)=x-6$$
Ainsi : $$u'\left(x\right)=2$$ et $$v'\left(x\right)=1$$.
Il vient alors que :
$$f'\left(x\right)=\frac{2\times \left(x-6\right)-\left(2x-5\right)\times 1}{\left(x-6\right)^{2} }$$
$$f'\left(x\right)=\frac{2x-12-\left(2x-5\right)}{\left(x-6\right)^{2} }$$
$$f'\left(x\right)=\frac{2x-12-2x+5}{\left(x-6\right)^{2} }$$
Ainsi :

Soit $$f'\left(x\right)=\frac{-7}{\left(x-6\right)^{2} }$$ .
Pour tout réel $$x$$ différent de $$6$$, on sait que $$\left(x-6\right)^{2}>0$$ et que $$-7<0$$. Nous traduisons cela dans un tableau de variation, ci-dessous :