Etude de fonctions - Exercice 2

$$f$$ est une fonction rationnelle .
$$f$$ est alors définie pour tous les réels tels que $$x^{2}+x+5\ne 0$$
Nous allons utiliser le discriminant pour cela.
$$\Delta=1^2-4\times1\times5$$ ainsi $$\Delta<0$$
Il en résulte qu'il n'y a pas de solutions réelles à l'équation $$x^{2}+x+5=0$$. Autrement dit, il n'y a pas de valeurs interdites.
Finalement, le domaine de définition de $$f$$ s'écrit alors : $$Df=\left]-\infty ;+\infty\right[$$ que l'on peut aussi écrire $$Df=\mathbb{R}$$

Il nous faut calculer $${\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty }} \frac{4x^{2} +4}{x^{2} +x+5}$$.
$$\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to +\infty } 4x^{2}+4} & {=} & {+\infty } \\ {\lim\limits_{x\to +\infty } x^{2} +x+5} & {=} & {+\infty } \end{array}\right\}$$ on obtient une forme indéterminée $$\frac{\infty }{\infty }$$
$$\blue{\text{Pour lever cette indétermination}}$$
$$\blue{\text{ On va factoriser le numérateur par le monôme de plus haut degré c'est à dire par }}$$ $$\blue{x^{2}}$$ $$\blue{\text{ et le dénominateur par le monôme de plus haut degré c'est à dire par }}$$ $$\blue{x^{2}}$$
Il vient alors :
$${\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty }} \frac{4x^{2} +4}{x^{2} +x+5} ={\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty }} \frac{x^{2} \left(\frac{4x^{2} +4}{x^{2} } \right)}{x^{2} \left(\frac{x^{2} +x+5}{x^{2} } \right)}$$
$${\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty }} \frac{4x^{2} +4}{x^{2} +x+5} ={\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty }} \frac{x^{2} \left(\frac{4x^{2} }{x^{2} } +\frac{4}{x^{2} } \right)}{x^{2} \left(\frac{x^{2} }{x^{2} } +\frac{x}{x^{2} } +\frac{5}{x^{2} } \right)}$$
$${\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty }} \frac{4x^{2} +4}{x^{2} +x+5} ={\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty }} \frac{x^{2} \left(4+\frac{4}{x^{2} } \right)}{x^{2} \left(1+\frac{1}{x} +\frac{5}{x^{2} } \right)}$$ . On simplifie maintenant le numérateur et le dénominateur par $$x^{2}$$ .
$${\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty }} \frac{4x^{2} +4}{x^{2} +x+5} ={\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty }} \frac{4+\frac{4}{x^{2} } }{1+\frac{1}{x} +\frac{5}{x^{2} } }$$
Ainsi : $$\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to +\infty } 4+\frac{4}{x^{2}}} & {=} & {4} \\ {\lim\limits_{x\to +\infty } 1+\frac{1}{x} +\frac{5}{x^{2} } } & {=} & {1} \end{array}\right\}$$ $$\text{\red{par quotient :}}$$
$$\purple{\text{Finalement :}}$$
La courbe $$\mathscr{C}_{f}$$ admet au voisinage de $$+\infty$$ une $$\pink{\text{asymptote horizontale}}$$ d'équation $$y=4$$.

$$f\left(x\right)-4=\frac{4x^{2} +4}{x^{2} +x+5} -4$$
$$f\left(x\right)-4=\frac{4x^{2} +4}{x^{2} +x+5} -\frac{4\left(x^{2} +x+5\right)}{x^{2} +x+5}$$
$$f\left(x\right)-4=\frac{4x^{2} +4-4\left(x^{2} +x+5\right)}{x^{2} +x+5}$$
$$f\left(x\right)-4=\frac{4x^{2} +4-4x^{2} -4x-20}{x^{2} +x+5}$$
$$f\left(x\right)-4=\frac{-4x-16}{x^{2} +x+5}$$
Nous allons étudier le signe de l'expression $$\frac{-4x-16}{x^{2} +x+5}$$
$$\red{\text{Pour le numérateur :}}$$
$$-4x-16\ge 0\Leftrightarrow -4x\ge 16\Leftrightarrow x\le \frac{16}{-4} \Leftrightarrow x\le -4$$
Cela signifie que l'on va mettre le signe $$+$$ dans la ligne de $$-4x-16$$ lorsque $$x$$ sera inférieur ou égale à $$-4$$.
$$\red{\text{Pour le dénominateur :}}$$ nous avons vu, d'après la question $$1$$, que $$\Delta<0$$ donc le dénominateur est du signe de $$a$$. Pour tout réel $$x$$, on a alors : $$x^{2} +x+5>0$$
On dresse le tableau de signe ci-dessous :

D'après la question $$3$$, nous avons déterminé le tableau de signe de l'expression de $$f\left(x\right)-4$$ .

Sur l'intervalle $$\left]-\infty;-4\right[$$ nous avons $$\frac{-4x-16}{x^{2} +x+5}>0$$ autrement dit $$f\left(x\right)-4>0$$ ou encore $$f\left(x\right) >4$$. Cela signifie que la courbe $$\mathscr{C_{f}}$$ est $$\red{\text{strictement au-dessus}}$$ de la droite $$\left(d\right)$$.

Sur l'intervalle $$\left]-4;+\infty\right[$$ nous avons $$\frac{-4x-16}{x^{2} +x+5}<0$$ autrement dit $$f\left(x\right)-4<0$$ ou encore $$f\left(x\right) <4$$. Cela signifie que la courbe $$\mathscr{C_{f}}$$ est $$\red{\text{strictement en dessous}}$$ de la droite $$\left(d\right)$$.

Au point d'abscisse $$x=-4$$ la courbe $$\mathscr{C_{f}}$$ et la droite $$\left(d\right)$$ sont $$\red{\text{sécantes.}}$$