Lever une forme indéterminée avec des quotients de polynômes - Exercice 2

5 min
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Question 1
Calculer les limites suivantes :

lim⁡x→−∞5x+2x+7\lim\limits_{x\to -\infty } \frac{5x+2}{x+7}

Correction
lim⁡x→−∞5x+2=−∞lim⁡x→−∞x+7=−∞}\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to -\infty } 5x+2} & {=} & {-\infty } \\ {\lim\limits_{x\to -\infty } x+7} & {=} & {-\infty } \end{array}\right\} on obtient une forme indéterminée ∞∞\frac{\infty }{\infty }
Au voisinage de +∞+\infty et de −∞-\infty un quotient de polynômes est équivalent au quotient des monômes de plus haut degré.
Il vient alors que :
lim⁡x→−∞5x+2x+7=lim⁡x→−∞5xx=lim⁡x→−∞51=5\lim\limits_{x\to -\infty } \frac{5x+2}{x+7}=\lim\limits_{x\to -\infty } \frac{5x}{x} =\lim\limits_{x\to -\infty } \frac{5}{1}=5
Finalement :\purple{\text{Finalement :}}
lim⁡x→−∞5x+2x+7=5\lim\limits_{x\to -\infty } \frac{5x+2}{x+7} =5

Question 2

lim⁡x→+∞3x−62x2+4x\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{3x-6}{2x^{2} +4x}

Correction
lim⁡x→+∞3x−6=+∞lim⁡x→+∞2x2+4x=+∞}\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to +\infty } 3x-6} & {=} & {+\infty } \\ {\lim\limits_{x\to +\infty } 2x^{2} +4x} & {=} & {+\infty } \end{array}\right\} on obtient une forme indéterminée ∞∞\frac{\infty }{\infty }
Au voisinage de +∞+\infty et de −∞-\infty un quotient de polynômes est équivalent au quotient des monômes de plus haut degré.
Il vient alors que :
lim⁡x→+∞3x−62x2+4x=lim⁡x→+∞3x2x2=lim⁡x→+∞32x=0\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{3x-6}{2x^{2} +4x} =\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{3x}{2x^{2}}=\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{3}{2x}=0
On rappelle que : Nombre∞=0\frac{Nombre}{\infty } =0 .
Question 3

lim⁡x→−∞6x2−4x2x+3\lim\limits_{x\to -\infty } \frac{6x^{2}-4x}{2x+3}

Correction
lim⁡x→−∞6x2−4x=+∞lim⁡x→−∞2x+3=−∞}\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to -\infty } 6x^{2}-4x} & {=} & {+\infty } \\ {\lim\limits_{x\to -\infty } 2x+3} & {=} & {-\infty } \end{array}\right\} on obtient une forme indéterminée ∞∞\frac{\infty }{\infty }
Au voisinage de +∞+\infty et de −∞-\infty un quotient de polynômes est équivalent au quotient des monômes de plus haut degré.
Il vient alors que :
lim⁡x→−∞6x2−4x2x+3=lim⁡x→−∞6x22x=lim⁡x→−∞6x2=lim⁡x→−∞3x=−∞\lim\limits_{x\to -\infty } \frac{6x^{2}-4x}{2x+3}=\lim\limits_{x\to -\infty } \frac{6x^{2}}{2x}=\lim\limits_{x\to -\infty } \frac{6x}{2}= \lim\limits_{x\to -\infty } 3x=-\infty
Finalement :\purple{\text{Finalement :}}
lim⁡x→−∞6x2−4x2x+3=−∞\lim\limits_{x\to -\infty } \frac{6x^{2}-4x}{2x+3} =-\infty
Question 4

lim⁡x→+∞4x2+95x2+8x+2\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{4x^{2}+9}{5x^{2}+8x+2}

Correction
lim⁡x→+∞4x2+9=+∞lim⁡x→+∞5x2+8x+2=+∞}\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to +\infty } 4x^{2}+9} & {=} & {+\infty } \\ {\lim\limits_{x\to +\infty } 5x^{2} +8x+2} & {=} & {+\infty } \end{array}\right\} on obtient une forme indéterminée ∞∞\frac{\infty }{\infty }
Au voisinage de +∞+\infty et de −∞-\infty un quotient de polynômes est équivalent au quotient des monômes de plus haut degré.
Il vient alors que :
lim⁡x→+∞4x2+95x2+8x+2=lim⁡x→+∞4x25x2=lim⁡x→+∞45=45\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{4x^{2}+9}{5x^{2}+8x+2}=\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{4x^{2}}{5x^{2}}=\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{4}{5}= \frac{4}{5}
Finalement :\purple{\text{Finalement :}}
lim⁡x→+∞4x2+95x2+8x+2=45\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{4x^{2}+9}{5x^{2} +8x+2} =\frac{4}{5}

Question 5

lim⁡x→−∞7x3+3xx4+6x3+6\lim\limits_{x\to -\infty } \frac{7x^{3}+3x}{x^{4}+6x^{3}+6}

Correction
lim⁡x→−∞7x3+3x=−∞lim⁡x→−∞x4+6x3+6=+∞}\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to -\infty } 7x^{3}+3x} & {=} & {-\infty } \\ {\lim\limits_{x\to -\infty } x^{4}+6x^{3}+6} & {=} & {+\infty } \end{array}\right\} on obtient une forme indéterminée ∞∞\frac{\infty }{\infty }
Au voisinage de +∞+\infty et de −∞-\infty un quotient de polynômes est équivalent au quotient des monômes de plus haut degré.
Il vient alors que :
lim⁡x→−∞7x3+3xx4+6x3+6=lim⁡x→−∞7x3x4=lim⁡x→−∞7x=0\lim\limits_{x\to -\infty } \frac{7x^{3}+3x}{x^{4}+6x^{3}+6} =\lim\limits_{x\to -\infty } \frac{7x^{3}}{x^{4}}=\lim\limits_{x\to -\infty } \frac{7}{x}=0
On rappelle que : Nombre∞=0\frac{Nombre}{\infty } =0 .

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