Limites et fonctions composées - Exercice 1

10 min
20
Limites et composées
Question 1
Calculer les limites suivantes :

lim⁡x→+∞36+4x\lim\limits_{x\to +\infty } \sqrt{36+\frac{4}{x} }

Correction
Il s’agit d’une limite par composition.\blue{\text{Il s'agit d'une limite par composition.}}
On commence par calculer lim⁡x→+∞36+4x\lim\limits_{x\to {\color{red}+\infty} }36+\frac{4}{x} . Ainsi : lim⁡x→+∞36+4x=36\lim\limits_{x\to {\color{red}+\infty} } 36+\frac{4}{x} ={\color{blue}36}
On pose X=36+4xX=36+\frac{4}{x}. Lorsque xx tend vers +∞{\color{red}+\infty} alors XX tend vers 36{\color{blue}36}.
Or : lim⁡X→36X=36=6\lim\limits_{X\to {\color{blue}36}} \sqrt{X }=\sqrt{36}={\color{green}6}
Par composition :
lim⁡x→+∞36+4x=6\lim\limits_{x\to {\color{red}+\infty}} \sqrt{36+\frac{4}{x} }={\color{green}6}
Question 2

lim⁡x→+∞4x+1x+6\lim\limits_{x\to +\infty } \sqrt{\frac{4x+1}{x+6} }

Correction
Il s’agit d’une limite par composition.\blue{\text{Il s'agit d'une limite par composition.}}
On commence par calculer lim⁡x→+∞4x+1x+6\lim\limits_{x\to {\color{red}+\infty } }\frac{4x+1}{x+6} .
Ainsi : lim⁡x→+∞4x+1x+6=lim⁡x→+∞4xx=lim⁡x→+∞41=4\lim\limits_{x\to {\color{red}+\infty }}\frac{4x+1}{x+6}=\lim\limits_{x\to {\color{red}+\infty }}\frac{4x}{x} =\lim\limits_{x\to {\color{red}+\infty }}\frac{4}{1}= {\color{blue}4}
Donc : lim⁡x→+∞4x+1x+6=4\lim\limits_{x\to {\color{red}+\infty } }\frac{4x+1}{x+6} ={\color{blue}4}
On pose X=4x+1x+6X=\frac{4x+1}{x+6}. Lorsque xx tend vers +∞{\color{red}+\infty } alors XX tend vers 4{\color{blue}4}.
Or : lim⁡X→4X=4=2\lim\limits_{X\to {\color{blue}4}} \sqrt{X }=\sqrt{4}={\color{green}2}
Par composition :
lim⁡x→+∞4x+1x+6=2\lim\limits_{x\to {\color{red}+\infty } } \sqrt{\frac{4x+1}{x+6} } ={\color{green}2}
Question 3

lim⁡x→+∞sin⁡(1x+1)\lim\limits_{x\to +\infty } \sin \left(\frac{1}{x+1} \right)

Correction
Il s’agit d’une limite par composition.\blue{\text{Il s'agit d'une limite par composition.}}
On commence par calculer lim⁡x→+∞1x+1\lim\limits_{x\to {\color{red}+\infty } }\frac{1}{x+1} .
Ainsi : lim⁡x→+∞1x+1=0\lim\limits_{x\to {\color{red}+\infty } }\frac{1}{x+1}={\color{blue}0}

On pose X=1x+1X=\frac{1}{x+1}. Lorsque xx tend vers +∞{\color{red}+\infty } alors XX tend vers 0{\color{blue}0}.

Or : lim⁡X→0sin⁡X=sin⁡0=0\lim\limits_{X\to {\color{blue}0}} \sin{X }=\sin{0}={\color{green}0}

Par composition :
lim⁡x→+∞sin⁡(1x+1)=0 \lim\limits_{x\to {\color{red}+\infty } } \sin \left(\frac{1}{x+1} \right) ={\color{green}0}
Question 4

lim⁡x→+∞cos⁡(πx−32x+1)\lim\limits_{x\to +\infty } \cos \left(\frac{\pi x-3}{2x+1} \right)

Correction
Il s’agit d’une limite par composition.\blue{\text{Il s'agit d'une limite par composition.}}
On commence par calculer lim⁡x→+∞πx−32x+1\lim\limits_{x\to {\color{red}+\infty }}\frac{\pi x-3}{2x+1} .
Ainsi : lim⁡x→+∞πx−32x+1=lim⁡x→+∞πx2x=lim⁡x→+∞π2=π2\lim\limits_{x\to {\color{red}+\infty } }\frac{\pi x-3}{2x+1} =\lim\limits_{x\to {\color{red}+\infty } }\frac{\pi x}{2x}=\lim\limits_{x\to {\color{red}+\infty } }\frac{\pi }{2}={\color{blue}\frac{\pi}{2}}
Donc : lim⁡x→+∞πx−32x+1=π2\lim\limits_{x\to {\color{red}+\infty } }\frac{\pi x-3}{2x+1} ={\color{blue}\frac{\pi}{2}}
On pose X=πx−32x+1X=\frac{\pi x-3}{2x+1}. Lorsque xx tend vers +∞{\color{red}+\infty } alors XX tend vers π2{\color{blue}\frac{\pi}{2}}.
Or : lim⁡X→π2cos⁡X=cos⁡π2=0\lim\limits_{X\to {\color{blue}\frac{\pi}{2}}} \cos{X }=\cos{\frac{\pi}{2} }={\color{green}0}
Par composition :
lim⁡x→+∞cos⁡(πx−32x+1)=0 \lim\limits_{x\to {\color{red}+\infty } } \cos \left(\frac{\pi x-3}{2x+1} \right) ={\color{green}0}
Question 5

lim⁡x→+∞(−x2+1)7\lim\limits_{x\to +\infty } \left(-x^{2} +1\right)^{7}

Correction
Il s’agit d’une limite par composition.\blue{\text{Il s'agit d'une limite par composition.}}
On commence par calculer lim⁡x→+∞−x2+1\lim\limits_{x\to {\color{red}+\infty } }-x^{2} +1 .
Ainsi : lim⁡x→+∞−x2+1=−∞\lim\limits_{x\to {\color{red}+\infty } }-x^{2} +1={\color{blue}-\infty}

On pose X=−x2+1X=-x^{2} +1. Lorsque xx tend vers +∞{\color{red}+\infty } alors XX tend vers −∞{\color{blue}-\infty }.

Or : lim⁡X→−∞X7=−∞\lim\limits_{X\to {\color{blue}-\infty}} X^{7} ={\color{green}-\infty}

Par composition :
lim⁡x→+∞(−x2+1)7=−∞ \lim\limits_{x\to {\color{red}+\infty } } \left(-x^{2} +1\right)^{7} ={\color{green}-\infty}
Question 6

lim⁡x→3+2(x−3)2\lim\limits_{x\to 3^{+} }\frac{2}{\left(x-3\right)^{2} }

Correction
Il s’agit d’une limite par composition.\blue{\text{Il s'agit d'une limite par composition.}}
On commence par calculer lim⁡x→3+(x−3)2\lim\limits_{x\to {\color{red}3^{+}} }\left(x-3\right)^{2} .
Ainsi : lim⁡x→3+(x−3)2=0+\lim\limits_{x\to {\color{red}3^{+}} }\left(x-3\right)^{2}={\color{blue}0^{+}}
On pose X=(x−3)2X=\left(x-3\right)^{2}. Lorsque xx tend vers 3+{\color{red}3^{+}} alors XX tend vers 0+{\color{blue}0^{+}}.
Or : lim⁡X→0+2X=+∞\lim\limits_{X\to {\color{blue}0^{+}}} \frac{2}{X} ={\color{green}+\infty }
Par composition :
lim⁡x→3+2(x−3)2=+∞\lim\limits_{x\to {\color{red}3^{+}} }\frac{2}{\left(x-3\right)^{2} } ={\color{green}+\infty}
Question 7

lim⁡x→−∞2−3x\lim\limits_{x\to -\infty } \sqrt{2-3x }

Correction
Il s’agit d’une limite par composition.\blue{\text{Il s'agit d'une limite par composition.}}
On commence par calculer lim⁡x→−∞2−3x\lim\limits_{x\to {\color{red}-\infty } }2-3x . Ainsi : lim⁡x→−∞2−3x=+∞\lim\limits_{x\to {\color{red}-\infty } } 2-3x ={\color{blue}+\infty}
On pose X=2−3xX=2-3x. Lorsque xx tend vers −∞{\color{red}-\infty } alors XX tend vers +∞{\color{blue}+\infty}.
Or : lim⁡X→+∞X=+∞\lim\limits_{X\to {\color{blue}+\infty} } \sqrt{X }={\color{green}+\infty}
Par composition :
lim⁡x→−∞2−3x=+∞\lim\limits_{x\to {\color{red}-\infty } } \sqrt{2-3x }={\color{green}+\infty}
Question 8

lim⁡x→−∞36x2−14x2+3\lim\limits_{x\to -\infty } \sqrt{\frac{36x^{2} -1}{4x^{2} +3} }

Correction
Il s’agit d’une limite par composition.\blue{\text{Il s'agit d'une limite par composition.}}
On commence par calculer lim⁡x→−∞36x2−14x2+3\lim\limits_{x\to {\color{red}-\infty } }\frac{36x^{2} -1}{4x^{2} +3} .
Ainsi : lim⁡x→−∞36x2−14x2+3=lim⁡x→−∞36x24x2=lim⁡x→−∞36x24x2=lim⁡x→−∞364=9\lim\limits_{x\to {\color{red}-\infty} }\frac{36x^{2} -1}{4x^{2} +3}=\lim\limits_{x\to {\color{red}-\infty} }\frac{36x^{2} }{4x^{2} }=\lim\limits_{x\to {\color{red}-\infty} }\frac{36x^{2} }{4x^{2} }=\lim\limits_{x\to {\color{red}-\infty} }\frac{36 }{4} ={\color{blue}9}
Donc : lim⁡x→−∞36x2−14x2+3=9\lim\limits_{x\to {\color{red}-\infty} }\frac{36x^{2} -1}{4x^{2} +3} ={\color{blue}9} .
On pose X=36x2−14x2+3X=\frac{36x^{2} -1}{4x^{2} +3}. Lorsque xx tend vers −∞{\color{red}-\infty} alors XX tend vers 9{\color{blue}9}.
Or : lim⁡X→9X=9=3\lim\limits_{X\to {\color{blue}9}} \sqrt{X }=\sqrt{9}={\color{green}3}
Par composition :
lim⁡x→−∞36x2−14x2+3=3\lim\limits_{x\to {\color{red}-\infty} } \sqrt{\frac{36x^{2} -1}{4x^{2} +3} } ={\color{green}3}

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