Limite du Sinus cardinal en 0 par approximation affine - Exercice 1

Soit $$f$$ un fonction dérivable en $$a$$. On a alors :
$$f'(a) = \lim_{h \longrightarrow 0} \dfrac{f(a+h) - f(a)}{h}$$
En retirant la limite, l'égalité n'est plus vraie. Cela signifie qu'une erreur est commise (le terme $$\dfrac{f(a+h) - f(a)}{h}$$ n'est plus égale à $$f'(a)$$) et cette erreur est d'autant plus grande que $$h$$ est lui même grand. A l'inverse, lorsque $$h$$ est infiniment petit, cette erreur est elle même infime. Notons par $$E(h)$$ cette erreur. On a alors :
$$f'(a) + E(h) = \dfrac{f(a+h) - f(a)}{h} \,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\, f(a+h) = f(a) + hf'(a) + hE(h)$$
Posons $$e(h) = hE(h)$$ et on a bien $$\lim_{h \longrightarrow 0} e(h) = 0$$, et on peut alors écrire la relation recherchée, à savoir :
$$f(a+h) = f(a) + hf'(a) + e(h)$$

On a :
$$\dfrac{f(a+h)}{f(a) + hf'(a)} = \dfrac{f(a) + hf'(a) + e(h)}{f(a) + hf'(a)} = \dfrac{f(a) + hf'(a)}{f(a) + hf'(a)} + \dfrac{e(h)}{f(a) + hf'(a)} = 1 + \dfrac{e(h)}{f(a) + hf'(a)}$$
En passant à la limite lorsque $$h \longrightarrow 0$$, on obtient :
$$\lim_{h \longrightarrow 0} \dfrac{f(a+h)}{f(a) + hf'(a)} = \lim_{h \longrightarrow 0} \left( 1 + \dfrac{e(h)}{f(a) + hf'(a)} \right) = 1 + \lim_{h \longrightarrow 0} \dfrac{e(h)}{f(a) + hf'(a)} = 1 + 0 = 1$$

On pose $$f=\sin$$, et comme $$\sin'=\cos$$, on obtient alors $$\sin(a+h) = \sin(a) + h \, \cos(a) + e(h)$$. Posons $$a = 0$$, dans ce cas, on obtient $$\sin(h) = \sin(0) + h \, \cos(0) + e(h)$$. Or, $$\sin(0) = 0$$ et $$\cos(0) = 1$$. Ceci nous donne $$\sin(h) = h + e(h)$$. Ainsi, en passant à la limite lorsque $$h \longrightarrow 0$$, on a donc $$\lim_{h \longrightarrow 0} e(h) = 0$$, et de fait, on trouve que $$\sin(h) \underset{0}{\sim} h$$. Finalement, en posant $$h=x$$, on trouve que : $$\sin(x) \underset{0}{\sim} x$$.

On pose $$f=\tan$$, et comme $$\tan'=1 + \tan^2$$, on obtient alors $$\tan(a+h) = \tan(a) + h \, \cos(a) + e(h)$$. Posons $$a = 0$$, dans ce cas, on obtient $$\tan(h) = \tan(0) + h \, (1 + \tan^2(0)) + e(h)$$. Or, $$\tan(0) = 0$$ et donc $$1 + \tan^2(0) = 1$$. Ceci nous donne $$\tan(h) = h + e(h)$$. Ainsi, en passant à la limite lorsque $$h \longrightarrow 0$$, on a donc $$\lim_{h \longrightarrow 0} e(h) = 0$$, et de fait, on trouve que $$\tan(h) \underset{0}{\sim} h$$. Finalement, en posant $$h=x$$, on trouve que : $$\tan(x) \underset{0}{\sim} x$$.

On pose $$f=\cos$$, et comme $$\cos'=-\sin$$, on obtient alors $$\cos(a+h) = \cos(a) - h \, \sin(a) + e(h)$$. Posons $$a = 0$$, dans ce cas, on obtient $$\cos(h) = \cos(0) - h \, \sin(0) + e(h)$$. Or, $$\sin(0) = 0$$ et $$\cos(0) = 1$$. Ceci nous donne $$\cos(h) = 1 + e(h)$$. Ainsi, en passant à la limite lorsque $$h \longrightarrow 0$$, on a donc $$\lim_{h \longrightarrow 0} e(h) = 0$$, et de fait, on trouve que $$\cos(h) \underset{0}{\sim} 1$$. Finalement, en posant $$h=x$$, on trouve que : $$\cos(x) \underset{0}{\sim} 1$$.

On a :
$$\lim_{x \longrightarrow 0} \dfrac{\tan(x)}{x} = \lim_{x \longrightarrow 0} \dfrac{x}{x} = \lim_{x \longrightarrow 0} 1 = 1$$

On a :
$$\lim_{x \longrightarrow 0} \dfrac{\tan(3x)}{\sin(2x)} = \lim_{x \longrightarrow 0} \dfrac{3x}{2x} = \lim_{x \longrightarrow 0} \dfrac{3}{2} = \dfrac{3}{2}$$

On a :
$$\lim_{x \longrightarrow 0} \dfrac{\sin(\pi x)}{\pi x} = \lim_{x \longrightarrow 0} \dfrac{\pi x}{\pi x} = \lim_{x \longrightarrow 0} 1 = 1$$

On a :
$$\lim_{x \longrightarrow 0} \dfrac{\sin(x^2)}{x} = \lim_{x \longrightarrow 0} \dfrac{x^2}{x} = \lim_{x \longrightarrow 0} x = 0$$

On a :
$$\lim_{x \longrightarrow 0^-} \dfrac{\sin(x)}{x^2} = \lim_{x \longrightarrow 0^-} \dfrac{x}{x^2} = \lim_{x \longrightarrow 0^-} \dfrac{1}{x} = - \infty$$