Objectif supérieur (2) - Exercice 1

On a va utiliser la définition d'u nombre dérivée en $$a$$ d'une fonction dérivable en ce point. On a alors :
$$f'(a) = \lim_{x \longrightarrow a} \dfrac{f(x) - f(a)}{x - a}$$
Ainsi, comme la fonction sinus est dérivable sur $$\mathbb{R}$$, on va écrire que :
$$\lim_{x \longrightarrow a} \dfrac{\sin(ax) - \sin(x^2)}{a - x} = - \lim_{x \longrightarrow a} \dfrac{\sin(ax) - \sin(x^2)}{x - a}$$
On obtient donc :
$$\lim_{x \longrightarrow a} \dfrac{\sin(ax) - \sin(x^2)}{a - x} = - \lim_{x \longrightarrow a} \dfrac{\sin(ax) - \sin(x^2)}{x - a} = \lim_{x \longrightarrow a} \dfrac{\sin(x^2) - \sin(ax)}{x - a} = \lim_{x \longrightarrow a} \dfrac{\sin(x^2) - \sin(ax) + \sin(a^2) - \sin(a^2)}{x - a} = \lim_{x \longrightarrow a} \dfrac{\sin(x^2) - \sin(a^2) - \sin(ax) + \sin(a^2)}{x - a}$$
Puis, en réorganisant les termes, on trouve que :
$$\lim_{x \longrightarrow a} \dfrac{\sin(ax) - \sin(x^2)}{a - x} = \lim_{x \longrightarrow a} \left( \dfrac{\sin(x^2) - \sin(a^2)}{x - a} - \dfrac{\sin(ax) - \sin(a^2)}{x - a} \right) = \lim_{x \longrightarrow a} \dfrac{\sin(x^2) - \sin(a^2)}{x - a} - \lim_{x \longrightarrow a} \dfrac{\sin(ax) - \sin(a^2)}{x - a}$$
Donc, en introduisant les nombres dérivées, on obtient :
$$\lim_{x \longrightarrow a} \dfrac{\sin(ax) - \sin(x^2)}{a - x} = \left( \sin(x^2)\right)'(x=a) - \left( \sin(ax)\right)'(x=a)$$
Avec :
$$\bullet \,\, \left( \sin(x^2)\right)' = (x^2)'\sin'(x^2) = 2x \cos(x^2) \,\,\,\, \Longrightarrow \,\,\,\, \left( \sin(x^2)\right)'(x=a) = 2a \cos(a^2)$$
$$\bullet \,\, \left( \sin(ax)\right)' = (ax)'\sin'(ax) = a \cos(ax) \,\,\,\, \Longrightarrow \,\,\,\, \left( \sin(ax)\right)'(x=a) = a \cos(aa) = a \cos(a^2)$$
Ce qui nous donne donc :
$$\lim_{x \longrightarrow a} \dfrac{\sin(ax) - \sin(x^2)}{a - x} = 2a \cos(a^2) - a \cos(a^2)$$
Finalement, on trouve que :
$$\lim_{x \longrightarrow a} \dfrac{\sin(ax) - \sin(x^2)}{a - x} = a \cos(a^2)$$