QCM Bilan 2 - QCM Bilan sur tout le programme pré prépa - Pré-Prépa

Question 1

Cet exercice est un Questionnaire à Choix Multiples (Q.C.M.). Pour chacune des questions, une seule réponse, sur les quatre propositions, est correcte.

Soit $x > 0$ . La valeur de la limite $\lim_{x \longrightarrow 1} \dfrac{\sqrt{2-x^2}-1}{\ln(x)}$ est :
$\bf{a.}$ $0$ $\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;$ $\bf{b.}$ $-1$
$\bf{c.}$ $1$ $\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;$ $\bf{d.}$ $-e^2$

Correction

\red{\text{la bonne réponse est } b}

\red{\boxed{\text{Il faut utiliser la méthode de l'expression conjuguée du numérateur } \sqrt{2-x^2}-1}}

En effet, on a :

\lim_{x \longrightarrow 1} \dfrac{\sqrt{2-x^2}-1}{\ln(x)} = \lim_{x \longrightarrow 1} \dfrac{\sqrt{2-x^2}-1}{\ln(x)} \times \dfrac{\sqrt{2-x^2}+1}{\sqrt{2-x^2}+1} = \lim_{x \longrightarrow 1} \dfrac{\sqrt{2-x^2}^2-1^2}{\ln(x) \left( \sqrt{2-x^2}+1 \right)} = \lim_{x \longrightarrow 1} \dfrac{2-x^2-1}{\ln(x) \left( \sqrt{2-x^2}+1 \right)} = \lim_{x \longrightarrow 1} \dfrac{1-x^2}{\ln(x) \left( \sqrt{2-x^2}+1 \right)}

Or,

1-x^2 = (1-x) \, (1+x)

. Donc :

\lim_{x \longrightarrow 1} \dfrac{\sqrt{2-x^2}-1}{\ln(x)} = \lim_{x \longrightarrow 1} \dfrac{(1-x) \, (1+x)}{\ln(x) \left( \sqrt{2-x^2}+1 \right)} = - \lim_{x \longrightarrow 1} \dfrac{(x-1) \, (1+x)}{\ln(x) \left( \sqrt{2-x^2}+1 \right)} = - \lim_{x \longrightarrow 1} \left( \dfrac{x-1 }{\ln(x) } \times \dfrac{1+x}{\sqrt{2-x^2}+1 } \right) = - \lim_{x \longrightarrow 1} \dfrac{x-1}{\ln(x)} \times \lim_{x \longrightarrow 1} \dfrac{1+x}{\sqrt{2-x^2}+1 }

Mais

\lim_{x \longrightarrow 1} \dfrac{1+x}{\sqrt{2-x^2}+1 } = \dfrac{1+1}{\sqrt{2-1^2}+1 } = \dfrac{2}{\sqrt{2-1}+1 } = \dfrac{2}{\sqrt{1}+1 } = \dfrac{2}{1+1 } = \dfrac{2}{2} = 1

. Donc, on obtient :

\lim_{x \longrightarrow 1} \dfrac{\sqrt{2-x^2}-1}{\ln(x)} = - \lim_{x \longrightarrow 1} \dfrac{x-1}{\ln(x)} \times 1 = - \lim_{x \longrightarrow 1} \dfrac{x-1}{\ln(x)} = - \lim_{x \longrightarrow 1} \dfrac{1}{\dfrac{\ln(x)}{x-1}} = -\dfrac{1}{\displaystyle{\lim_{x \longrightarrow 1}} \dfrac{\ln(x)}{x-1}} = -\dfrac{1}{\displaystyle{\lim_{x \longrightarrow 1}} \dfrac{\ln(x) - 0}{x-1}} = -\dfrac{1}{\displaystyle{\lim_{x \longrightarrow 1}} \dfrac{\ln(x) - \ln(1)}{x-1}}

.
Or, on reconnait la définition du nombre dérivé en

1

. En effet :

\lim_{x \longrightarrow 1} \dfrac{\ln(x) - \ln(1)}{x-1} = (\ln(x))'(x=1) = \left( \dfrac{1}{x} \right)(x=1) = \dfrac{1}{1} = 1

. On donc :

\lim_{x \longrightarrow 1} \dfrac{\sqrt{2-x^2}-1}{\ln(x)} = - \dfrac{1}{1}

Finalement :

\lim_{x \longrightarrow 1} \dfrac{\sqrt{2-x^2}-1}{\ln(x)} = - 1

Question 2

Soit $x \in \mathbb{R}/{e}$ . La valeur de la limite $\lim_{x \longrightarrow e} \dfrac{\sqrt{x}-\sqrt{e}}{\ln(x)-1}$ est :
$\bf{a.}$ $0$ $\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;$ $\bf{b.}$ $e$
$\bf{c.}$ $1$ $\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;$ $\bf{d.}$ $\dfrac{\sqrt{e}}{2}$

Correction

\red{\text{la bonne réponse est } d}

\red{\boxed{\text{Il faut utiliser la méthode de l'expression conjuguée du numérateur } \sqrt{x}-\sqrt{e}}}

En effet, on a :

\lim_{x \longrightarrow e} \dfrac{\sqrt{x}-\sqrt{e}}{\ln(x)-1} = \lim_{x \longrightarrow e} \left( \dfrac{\sqrt{x}-\sqrt{e}}{\ln(x)-1} \times \dfrac{\sqrt{x}+\sqrt{e}}{\sqrt{x}+\sqrt{e}} \right) = \lim_{x \longrightarrow e} \dfrac{\sqrt{x}^2-\sqrt{e}^2}{\left(\ln(x)-1\right) \left( \sqrt{x}+\sqrt{e} \right)} = \lim_{x \longrightarrow e} \dfrac{x-e}{\left(\ln(x)-1\right) \left( \sqrt{x}+\sqrt{e} \right)} = \lim_{x \longrightarrow e} \dfrac{1}{\dfrac{\ln(x)-1}{x-e} \times \left(\sqrt{x}+\sqrt{e} \right)}

Soit :

\lim_{x \longrightarrow e} \dfrac{\sqrt{x}-\sqrt{e}}{\ln(x)-1} = \dfrac{1}{\displaystyle{\lim_{x \longrightarrow e}}\dfrac{\ln(x)-1}{x-e} } \times \lim_{x \longrightarrow e} \dfrac{1}{\sqrt{x}+\sqrt{e}} = \dfrac{1}{\displaystyle{\lim_{x \longrightarrow e}}\dfrac{\ln(x)-\ln(e)}{x-e} } \times \lim_{x \longrightarrow e} \dfrac{1}{\sqrt{x}+\sqrt{e}}

Mais

\lim_{x \longrightarrow e} \dfrac{1}{\sqrt{x}+\sqrt{e}} = \dfrac{1}{\sqrt{e}+\sqrt{e}} = \dfrac{1}{2\sqrt{e}}

. Puis

\lim_{x \longrightarrow e}\dfrac{\ln(x)-\ln(e)}{x-e}

représente le nombre dérivé de

\ln(x)

pris en

e

, à savoir

\left( \ln(x) \right)'(x=e) = \left( \dfrac{1}{x} \right)'(x=e) = \dfrac{1}{e}

. Donc, on obtient :

\lim_{x \longrightarrow e} \dfrac{\sqrt{x}-\sqrt{e}}{\ln(x)-1} = \dfrac{1}{\dfrac{1}{e}} \times \dfrac{1}{2\sqrt{e}} = e \times \dfrac{1}{2\sqrt{e}} = \dfrac{e}{2\sqrt{e}} = \dfrac{\sqrt{e} \times \sqrt{e}}{2\sqrt{e}}

En simplifiant par

\sqrt{e}

, on trouve que :

\lim_{x \longrightarrow e} \dfrac{\sqrt{x}-\sqrt{e}}{\ln(x)-1} = \dfrac{\sqrt{e}}{2}

Question 3

Soit $x > 1$ . La valeur de la limite $\lim_{x \longrightarrow 1} \dfrac{x^\pi-1}{x^{\sqrt{2}}-1}$ est :
$\bf{a.}$ $\dfrac{\pi}{2}$ $\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;$ $\bf{b.}$ $\dfrac{\pi}{\sqrt{2}}$
$\bf{c.}$ $\dfrac{2}{\pi}$ $\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;$ $\bf{d.}$ $-\dfrac{\sqrt{2}}{\pi}$

Correction

\red{\text{la bonne réponse est } b}

\red{\boxed{\text{Il faut faire apparaitre des nombres dérivés en } 1}}

En effet, on a :

\lim_{x \longrightarrow 1} \dfrac{x^\pi-1}{x^{\sqrt{2}}-1} = \lim_{x \longrightarrow 1} \left( \dfrac{x^\pi-1}{x-1} \times \dfrac{x-1}{x^{\sqrt{2}}-1} \right) = \lim_{x \longrightarrow 1} \left( \dfrac{x^\pi-1}{x-1} \times \dfrac{1}{\dfrac{x^{\sqrt{2}}-1}{x-1}} \right) = \lim_{x \longrightarrow 1} \dfrac{x^\pi-1}{x-1} \times \dfrac{1}{\displaystyle{\lim_{x \longrightarrow 1} \dfrac{x^{\sqrt{2}}-1}{x-1} }}

Or, le terme

\lim_{x \longrightarrow 1} \dfrac{x^\pi-1}{x-1}

représente le nombre dérivé de

x^\pi

en

1

, et

\lim_{x \longrightarrow 1} \dfrac{x^{\sqrt{2}}-1}{x-1}

représente le nombre dérivé de

x^\pi

en

1

. Ainsi, on a :

\lim_{x \longrightarrow 1} \dfrac{x^\pi-1}{x^{\sqrt{2}}-1} = \left( x^\pi \right)'(x=1) \times \dfrac{1}{\left( x^{\sqrt{2}} \right)'(x=1)} = \left( \pi x^{\pi-1} \right)(x=1) \times \dfrac{1}{\left( \sqrt{2}x^{\sqrt{2}-1} \right)(x=1)} = \pi 1^{\pi-1} \times \dfrac{1}{\sqrt{2}1^{\sqrt{2}-1} } = \pi \times \dfrac{1}{\sqrt{2}}

Finalement :

\lim_{x \longrightarrow 1} \dfrac{x^\pi-1}{x^{\sqrt{2}}-1} = \dfrac{\pi}{\sqrt{2}}

Question 4

Soit $a$ un réel strictement positif, et différent de $1$ . Soit $x$ un réel strictement positif, et différent de $a$ . La valeur de la limite $\lim_{x \longrightarrow a} \dfrac{x^a-a^x}{x-a}$ est :
$\bf{a.}$ $\dfrac{\ln(a)}{a}$ $\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;$ $\bf{b.}$ $\dfrac{1-\ln(a)}{a}$
$\bf{c.}$ $a^a \ln(a)$ $\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;$ $\bf{d.}$ $a^a \left(1-\ln(a) \right)$

Correction

\red{\text{la bonne réponse est } d}

\red{\boxed{\text{Par des jeux d'écriture, il faut faire apparaitre des nombres dérivés en } a}}

En effet, on a :

\lim_{x \longrightarrow a} \dfrac{x^a-a^x}{x-a} = \lim_{x \longrightarrow a} \dfrac{x^a-a^x + a^a - a^a}{x-a} = \lim_{x \longrightarrow a} \left( \dfrac{x^a-a^a}{x-a} - \dfrac{a^x-a^a}{x-a} \right) = \lim_{x \longrightarrow a} \dfrac{x^a-a^a}{x-a} - \lim_{x \longrightarrow a} \dfrac{a^x-a^a}{x-a} = \left( x^a \right)'(x=a) - \left( a^x \right)'(x=a)

Et on a :

\left( x^a \right)'(x=a) = \left(a x^{a-1}\right)(x=a) = a a^{a-1} = a^a

Mais aussi :

\left( a^x \right)'(x=a) = \left( e^{\ln(a^x)} \right)'(x=a) = \left( e^{x\ln(a)} \right)'(x=a) = \left( \left( x\ln(a) \right)' e^{x\ln(a)} \right)(x=a) = \left( \ln(a) \, e^{x\ln(a)} \right)(x=a) = \left( \ln(a) \, a^x \right)(x=a) = \ln(a) \, a^a

Donc, on obtient :

\lim_{x \longrightarrow a} \dfrac{x^a-a^x}{x-a} = a^a - \ln(a) \, a^a

En factorisant par le terme

a^a

on trouve alors :

\lim_{x \longrightarrow a} \dfrac{x^a-a^x}{x-a} = a^a \left( 1- \ln(a) \right)

Question 5

Soit $a$ et $b$ deux nombres réels strictement positifs. La valeur de la limite $\lim_{x \longrightarrow 0} \dfrac{a^x-b^x}{x}$ est :
$\bf{a.}$ $\ln \left(\dfrac{a}{b}\right)$ $\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;$ $\bf{b.}$ $\dfrac{\ln(a)}{a+\ln(b)}$
$\bf{c.}$ $\ln(a-b)$ $\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;$ $\bf{d.}$ $b\ln \left (a \right)$

Correction

\red{\text{la bonne réponse est } a}

\red{\boxed{\text{Par des jeux d'écriture, il faut faire apparaitre des nombres dérivés en } 0}}

En effet, on a :

\lim_{x \longrightarrow 0} \dfrac{a^x-b^x}{x} = \lim_{x \longrightarrow 0} \dfrac{a^x-b^x + 1 - 1}{x - 0} = \lim_{x \longrightarrow 0} \dfrac{a^x - 1 - \left( b^x - 1 \right)}{x - 0} = \lim_{x \longrightarrow 0} \dfrac{a^x - 1}{x - 0} - \lim_{x \longrightarrow 0} \dfrac{b^x - 1}{x - 0} = \lim_{x \longrightarrow 0} \dfrac{a^x - a^0}{x - 0} - \lim_{x \longrightarrow 0} \dfrac{b^x - b^0}{x - 0} = \left( a^x \right)'(x=0) - \left( b^x \right)'(x=0)

Ce qui nous donne encore :

\lim_{x \longrightarrow 0} \dfrac{a^x-b^x}{x} = \left( e^{\ln(a^x)} \right)'(x=0) - \left( e^{\ln(b^x)} \right)'(x=0) = \left( e^{x\ln(a)} \right)'(x=0) - \left( e^{x\ln(b)} \right)'(x=0) = \left( (x\ln(a))' e^{x\ln(a)} \right)(x=0) - \left( (x\ln(b))' e^{x\ln(b)} \right)'(x=0)

Soit :

\lim_{x \longrightarrow 0} \dfrac{a^x-b^x}{x} = \left( \ln(a) \, e^{x\ln(a)} \right)(x=0) - \left( (\ln(b) \, e^{x\ln(b)} \right)'(x=0) = \left( \ln(a) \, x^a \right)(x=0) - \left( \ln(b) x^b \right)'(x=0) = \ln(a) \, 0^a - \ln(b) \, 0^b = \ln(a) \times 1 - \ln(b) \times 1 = \ln(a) - \ln(b)

Finalement, on trouve que :

\lim_{x \longrightarrow 0} \dfrac{a^x-b^x}{x} = \ln \left(\dfrac{a}{b}\right)

Question 6

La valeur de la limite $\lim_{x \longrightarrow 0} \dfrac{\left(e^x - 1 \right)\ln(1+x)}{\sqrt{1+x^2}-1}$ est :
$\bf{a.}$ $0$ $\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,$ $\bf{b.}$ $1$
$\bf{c.}$ $2$ $\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;$ $\bf{d.}$ $+\infty$

Correction

\red{\text{la bonne réponse est } c}

\red{\boxed{\text{Par exemple, on peut faire usage des équivalents usuels en zéro}}}

En effet, pour la quantité réelle

X \longrightarrow 0

, on a les équivalents usuels suivants :

\,\,\, \bullet \,\,\, e^X \underset{0}{\sim} 1+X

\,\,\, \bullet \,\,\, \ln(1+X) \underset{0}{\sim} X

\,\,\, \bullet \,\,\, \sqrt{1+X} \underset{0}{\sim} 1+ \dfrac{1}{2}X

Donc, on en déduit que si

x \longrightarrow 0

alors :

\,\,\, \bullet \,\,\, e^x \underset{0}{\sim} 1+x

\,\,\, \bullet \,\,\, \ln(1+x) \underset{0}{\sim} x

\,\,\, \bullet \,\,\, \sqrt{1+x^2} \underset{0}{\sim} 1+ \dfrac{1}{2}x^2

Ainsi :

\lim_{x \longrightarrow 0} \dfrac{\left(e^x - 1 \right)\ln(1+x)}{\sqrt{1+x^2}-1} = \lim_{x \longrightarrow 0} \dfrac{\left(1+x - 1 \right)\times x}{1+ \dfrac{1}{2}x^2-1} = \lim_{x \longrightarrow 0} \dfrac{x\times x}{ \dfrac{1}{2}x^2} = \lim_{x \longrightarrow 0} \dfrac{x^2}{ \dfrac{1}{2}x^2} = \lim_{x \longrightarrow 0} \dfrac{1}{ \dfrac{1}{2}} = \lim_{x \longrightarrow 0} 2

Finalement, on a :

\lim_{x \longrightarrow 0} \dfrac{\left(e^x - 1 \right)\ln(1+x)}{\sqrt{1+x^2}-1} = 2

Question 7

La valeur de la limite $\lim_{x \longrightarrow +\infty} \left( \sqrt{x + \sqrt{x + \sqrt{x}}} - \sqrt{x} \right)$ est :
$\bf{a.}$ $0$ $\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,$ $\bf{b.}$ $\dfrac{1}{2}$
$\bf{c.}$ $1$ $\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;$ $\bf{d.}$ $+\infty$

Correction

\red{\text{la bonne réponse est } b}

\red{\boxed{\text{Utiliser l'expression conjuguée, puis une factorisation}}}

En effet, on a :

\lim_{x \longrightarrow +\infty} \left( \sqrt{x + \sqrt{x + \sqrt{x}}} - \sqrt{x} \right) = \lim_{x \longrightarrow +\infty} \left( \sqrt{x + \sqrt{x + \sqrt{x}}} - \sqrt{x} \right) \times \dfrac{\sqrt{x + \sqrt{x + \sqrt{x}}} + \sqrt{x}}{\sqrt{x + \sqrt{x + \sqrt{x}}} + \sqrt{x}} = \lim_{x \longrightarrow +\infty} \dfrac{\sqrt{x + \sqrt{x + \sqrt{x}}}^2 - \sqrt{x}^2}{\sqrt{x + \sqrt{x + \sqrt{x}}} + \sqrt{x}}

Ce qui nous donne :

\lim_{x \longrightarrow +\infty} \left( \sqrt{x + \sqrt{x + \sqrt{x}}} - \sqrt{x} \right) = \lim_{x \longrightarrow +\infty} \dfrac{x + \sqrt{x + \sqrt{x}} - x}{\sqrt{x + \sqrt{x + \sqrt{x}}} + \sqrt{x}} = \lim_{x \longrightarrow +\infty} \dfrac{\sqrt{x + \sqrt{x}}}{\sqrt{x + \sqrt{x + \sqrt{x}}} + \sqrt{x}} = \lim_{x \longrightarrow +\infty} \dfrac{\sqrt{x \left(1+\dfrac{\sqrt{x}}{x} \right)}}{\sqrt{x \left(1 + \sqrt{\dfrac{x}{x^2} + \sqrt{\dfrac{x}{x^4}}}\right)} + \sqrt{x}}

En factorisant par

\sqrt{x}

, on obtient :

\lim_{x \longrightarrow +\infty} \left( \sqrt{x + \sqrt{x + \sqrt{x}}} - \sqrt{x} \right) = \lim_{x \longrightarrow +\infty} \dfrac{\sqrt{x}\sqrt{1+\dfrac{1}{\sqrt{x}}}}{\sqrt{x}\left(\sqrt{1 + \sqrt{\dfrac{1}{x} + \sqrt{\dfrac{1}{x^3}}}} + 1\right)} = \lim_{x \longrightarrow +\infty} \dfrac{\sqrt{1+\dfrac{1}{\sqrt{x}}}}{\sqrt{1 + \sqrt{\dfrac{1}{x} + \sqrt{\dfrac{1}{x^3}}}} + 1} = \lim_{x \longrightarrow +\infty} \dfrac{\sqrt{1+0}}{\sqrt{1 + \sqrt{0 + \sqrt{0}}} + 1} = \lim_{x \longrightarrow +\infty} \dfrac{\sqrt{1}}{\sqrt{1}+1}

Donc :

\lim_{x \longrightarrow +\infty} \left( \sqrt{x + \sqrt{x + \sqrt{x}}} - \sqrt{x} \right) = \lim_{x \longrightarrow +\infty} \dfrac{1}{1+1} = \lim_{x \longrightarrow +\infty} \dfrac{1}{2}

Finalement, on a :

\lim_{x \longrightarrow +\infty} \left( \sqrt{x + \sqrt{x + \sqrt{x}}} - \sqrt{x} \right) = \dfrac{1}{2}

Question 8

La valeur de la limite $\lim_{x \longrightarrow 0} \left| \, \sin(x) \, \right|^{\tan(x)}$ est :
$\bf{a.}$ $0$ $\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,$ $\bf{b.}$ $\dfrac{1}{2}$
$\bf{c.}$ $1$ $\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;$ $\bf{d.}$ $+\infty$

Correction

\red{\text{la bonne réponse est } c}

\red{\boxed{\text{Utiliser les équivalents usuels en zéro}}}

En effet, on a :
En effet, pour la quantité réelle

X \longrightarrow 0

, on a les équivalents usuels suivants :

\,\,\, \bullet \,\,\, \sin(X) \underset{0}{\sim} X

\,\,\, \bullet \,\,\, \tan(X) \underset{0}{\sim} X

Donc, on en déduit que si

x \longrightarrow 0

alors :

\,\,\, \bullet \,\,\, \sin(x) \underset{0}{\sim} 1+x

\,\,\, \bullet \,\,\, \tan(x) \underset{0}{\sim} x

Ainsi :

\lim_{x \longrightarrow 0} \left| \, \sin(x) \, \right|^{\tan(x)} = \lim_{x \longrightarrow 0} \left| \, x \, \right|^{x} = \lim_{x \longrightarrow 0} e^{\ln\left(\left| \, x \, \right|^{x}\right)} = \lim_{x \longrightarrow 0} e^{x\ln\left(\left| \, x \, \right|\right)} = e^{\,\displaystyle{\lim_{x \longrightarrow 0}} x\ln\left(\left| \, x \, \right|\right)}

Mais, on sait que :

\lim_{x \longrightarrow 0} = x\ln\left(\left| \, x \, \right|\right) = 0

Ce qui implique que :

\lim_{x \longrightarrow 0} \left| \, \sin(x) \, \right|^{\tan(x)} = e^0

Finalement :

\lim_{x \longrightarrow 0} \left| \, \sin(x) \, \right|^{\tan(x)} = 1

Question 9

La valeur de la limite $\lim_{x \longrightarrow +\infty} \left( \, \dfrac{\ln(x+1)}{\ln(x)} \, \right)^{x\ln(x)}$ est :
$\bf{a.}$ $0$ $\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,$ $\bf{b.}$ $1$
$\bf{c.}$ $e$ $\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;$ $\bf{d.}$ $+\infty$

Correction

\red{\text{la bonne réponse est } c}

\red{\boxed{\text{Utiliser les équivalents usuels et des jeux d'écritures}}}

En effet, on a :

\lim_{x \longrightarrow +\infty} \left( \, \dfrac{\ln(x+1)}{\ln(x)} \, \right)^{x\ln(x)} = \lim_{x \longrightarrow +\infty} \left( \, \dfrac{\ln\left(x\left(1+\dfrac{1}{x}\right)\right)}{\ln(x)} \, \right)^{x\ln(x)} = \lim_{x \longrightarrow +\infty} \left( \, \dfrac{\ln(x) + \ln\left(1+\dfrac{1}{x}\right)}{\ln(x)} \, \right)^{x\ln(x)} = \lim_{x \longrightarrow +\infty} \left( \, \dfrac{\ln(x) + \ln\left(1+\dfrac{1}{x}\right)}{\ln(x)} \, \right)^{x\ln(x)}

Ce qui nous donne :

\lim_{x \longrightarrow +\infty} \left( \, \dfrac{\ln(x+1)}{\ln(x)} \, \right)^{x\ln(x)} = \lim_{x \longrightarrow +\infty} \left(\dfrac{\ln(x)}{\ln(x)} + \, \dfrac{ \ln\left(1+\dfrac{1}{x}\right)}{\ln(x)} \, \right)^{x\ln(x)} = \lim_{x \longrightarrow +\infty} \left(1 + \, \dfrac{ \ln\left(1+\dfrac{1}{x}\right)}{\ln(x)} \, \right)^{x\ln(x)}

Mais, on sait que pour

X \longrightarrow 0

, on a l'équivalence

\ln(1+X) \underset{0}{\sim} X

. Ainsi, en posant

\dfrac{1}{x} = X

, on a

\dfrac{1}{x} \longrightarrow +\infty

, et de fait

\ln\left(1+\dfrac{1}{x}\right) \underset{+\infty}{\sim} \dfrac{1}{x}

. Donc, on peut écrire que :

\lim_{x \longrightarrow +\infty} \left( \, \dfrac{\ln(x+1)}{\ln(x)} \, \right)^{x\ln(x)} = \lim_{x \longrightarrow +\infty} \left(1 + \, \dfrac{ \dfrac{1}{x}}{\ln(x)} \, \right)^{x\ln(x)} = \lim_{x \longrightarrow +\infty} \left(1 + \, \dfrac{ 1}{x\ln(x)} \, \right)^{x\ln(x)}

Afin de simplifier l'écriture, posons

Q = x \ln(x)

. Comme

x \longrightarrow +\infty

alors

x \ln(x) \longrightarrow +\infty

, et de fait

Q \longrightarrow +\infty

.
On a alors :

\lim_{x \longrightarrow +\infty} \left( \, \dfrac{\ln(x+1)}{\ln(x)} \, \right)^{x\ln(x)} = \lim_{Q \longrightarrow +\infty} \left(1 + \, \dfrac{ 1}{Q} \, \right)^Q = \lim_{Q \longrightarrow +\infty} e^{\ln\left(\left(1 + \, \frac{1}{Q} \, \right)^Q\right)} = \lim_{Q \longrightarrow +\infty} e^{Q\ln\left(1 + \, \frac{1}{Q} \, \right)}

En faisant usage de la relation d'équivalence

\ln\left(1+\dfrac{1}{Q}\right) \underset{+\infty}{\sim} \dfrac{1}{Q}

on obtient :

\lim_{x \longrightarrow +\infty} \left( \, \dfrac{\ln(x+1)}{\ln(x)} \, \right)^{x\ln(x)} = \lim_{Q \longrightarrow +\infty} e^{Q \times \frac{1}{Q}} = \lim_{Q \longrightarrow +\infty} e^{\frac{Q}{Q}} = \lim_{Q \longrightarrow +\infty} e^{1} =\lim_{Q \longrightarrow +\infty} e

Finalement :

\lim_{x \longrightarrow +\infty} \left( \, \dfrac{\ln(x+1)}{\ln(x)} \, \right)^{x\ln(x)} = e

Question 10

La valeur de la limite $\lim_{x \longrightarrow +\infty} e^{\sqrt{\frac{x}{x-\ln(x)}}}$ est :
$\bf{a.}$ $0$ $\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,$ $\bf{b.}$ $1$
$\bf{c.}$ $e$ $\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;$ $\bf{d.}$ $+\infty$

Correction

\red{\text{la bonne réponse est } c}

\red{\boxed{\text{Dans l'exponentielle, il faut factoriser par les termes prépondérants}}}

En effet, on a :

\lim_{x \longrightarrow +\infty} e^{\sqrt{\frac{x}{x-\ln(x)}}} = \lim_{x \longrightarrow +\infty} e^{\sqrt{\frac{x}{x \left( 1- \frac{\ln(x)}{x} \right)}}} = \lim_{x \longrightarrow +\infty} e^{\sqrt{\frac{1}{1- \frac{\ln(x)}{x} }}} = e^{\sqrt{\frac{1}{1- \lim_{x \longrightarrow +\infty}\frac{\ln(x)}{x} }}}

Or, par croissances comparées, on sait que :

\lim_{x \longrightarrow +\infty}\frac{\ln(x)}{x} = 0

Ainsi, on en déduit que :

\lim_{x \longrightarrow +\infty} e^{\sqrt{\frac{x}{x-\ln(x)}}} = e^{\sqrt{\frac{1}{1-0 }}} = e^1

Finalement, on obtient :

\lim_{x \longrightarrow +\infty} e^{\sqrt{\frac{x}{x-\ln(x)}}} = e

Question 11

Soit $x$ un réel strictement positif. L'expression de la dérivée $f'$ de l'expression fonctionnelle $f(x) = x^x$ est :
$\bf{a.}$ $x^{x-1} \ln(x)$ $\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;$ $\bf{b.}$ $x\, x^{x-1}$
$\bf{c.}$ $\left( 1 + \ln(x) \right) \, x^x$ $\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;$ $\bf{d.}$ $x^{x} \ln(x)$

Correction

\red{\text{la bonne réponse est } c}

\red{\boxed{\text{Transformer l'expression à dérivée avec un logarithme et une exponentielle : } x^x = e^{\ln(x^x)} = e^{x \ln(x)}}}

En effet :

f(x) = x^x = e^{\ln \left( x^x \right)} = e^{x \ln(x)}

Donc :

f'(x) = \left( e^{x \ln(x)}\right)' = \left( x \ln(x) \right)' \times e^{x \ln(x)} = \left( x' \ln(x) + x \ln'(x) \right)' \times e^{\ln(x^x)} = \left( 1 \times \ln(x) + x \times \dfrac{1}{x}\right) \times x^x = \left( \ln(x) + \dfrac{x}{x}\right) \times x^x = \left( \ln(x) +1 \right) \times x^x

Finalement :

f'(x) = \left( 1 + \ln(x) \right) \, x^x

Question 12

Soit $x$ un réel non nul. L'expression de la dérivée $f'$ de l'expression fonctionnelle $f(x) = x^2 \sin\left( \dfrac{\pi}{x} \right)$ est :
$\bf{a.}$ $2x \sin\left( \dfrac{\pi}{x} \right)$ $\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;$ $\bf{b.}$ $2x \left(\sin\left( \dfrac{\pi}{x} \right) - \pi \cos\left( \dfrac{\pi}{x} \right) \right)$
$\bf{c.}$ $2x \pi \cos\left( \dfrac{\pi}{x} \right)$ $\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;$ $\bf{d.}$ $2x \sin\left( \dfrac{\pi}{x} \right) - \pi \cos\left( \dfrac{\pi}{x} \right)$

Correction

\red{\text{la bonne réponse est } d}

\red{\boxed{\text{Utiliser la dérivation d'un produit et la dérivation d'une fonction composée}}}

En effet :

f'(x) = \left( x^2 \sin\left( \dfrac{\pi}{x} \right)\right)' = \left( x^2 \right)' \sin\left( \dfrac{\pi}{x} \right) + x^2 \left( \sin\left( \dfrac{\pi}{x} \right)\right)' = 2x \sin\left( \dfrac{\pi}{x} \right) + x^2 \left( \dfrac{\pi}{x} \right)' \cos\left( \dfrac{\pi}{x} \right) = 2x \sin\left( \dfrac{\pi}{x} \right) + x^2 \left( -\dfrac{\pi}{x^2} \right) \cos\left( \dfrac{\pi}{x} \right) = 2x \sin\left( \dfrac{\pi}{x} \right) - \dfrac{x^2\pi}{x^2} \cos\left( \dfrac{\pi}{x} \right)

Comme

x \neq 0

, on peut donc simplifier par

x^2

, et on obtient :

f'(x) = 2x \sin\left( \dfrac{\pi}{x} \right) - \pi\cos\left( \dfrac{\pi}{x} \right)

Question 13

Soit $x$ un réel. On considère la fonction $f$ définie par :
$\,\, \bullet \,\,$ si $x \neq 0$ alors $f(x) = x^2 \sin\left( \dfrac{\pi}{x} \right)$
$\,\, \bullet \bullet \,\,$ si $x = 0$ alors $f(x) = 0$
Le nombre dérivée en $x=0$ est :
$\bf{a.}$ $\pi$ $\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;$ $\bf{b.}$ $+\infty$
$\bf{c.}$ $0$ $\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;$ $\bf{d.}$ $- \infty$

Correction

\red{\text{la bonne réponse est } c}

\red{\boxed{\text{Utiliser la définition du nombre dérivée en zéro, c'est-à-dire la limite du taux de variation en zéro}}}

En effet :

\lim_{x \longrightarrow 0} \dfrac{f(x)-f(0)}{x-0} = \lim_{x \longrightarrow 0} \dfrac{x^2 \sin\left( \dfrac{\pi}{x} \right)-0}{x-0} = \lim_{x \longrightarrow 0} \dfrac{x^2 \sin\left( \dfrac{\pi}{x} \right)}{x} = \lim_{x \longrightarrow 0} x \sin\left( \dfrac{\pi}{x} \right)

Le terme

\sin\left( \dfrac{\pi}{x} \right)

est toujours compris entre

-1

et

1

, donc, de part la présence du terme

x

devant

\sin\left( \dfrac{\pi}{x} \right)

, on en déduit immédiatement que :

\lim_{x \longrightarrow 0} \dfrac{f(x)-f(0)}{x-0} = 0

La fonction

f

est donc dérivable en

x=0

, et on a

f'(0) = \lim_{x \longrightarrow 0} \dfrac{f(x)-f(0)}{x-0} = 0

.

Question 14

Soit $x$ un réel. On considère la fonction $f$ définie par :
$\,\, \bullet \,\,$ si $x \neq 0$ alors $f(x) = x \sin\left( \dfrac{1}{x} \right)$
$\,\, \bullet \bullet \,\,$ si $x = 0$ alors $f(x) = 0$
La dérivée en $x=0$ est :
$\bf{a.}$ $0$ $\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;$ $\bf{b.}$ n'existe pas
$\bf{c.}$ $1$ $\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;$ $\bf{d.}$ $\pi$

Correction

\red{\text{la bonne réponse est } b}

\red{\boxed{\text{Utiliser la définition du nombre dérivée en zéro, c'est-à-dire la limite du taux de variation en zéro}}}

En effet :

\lim_{x \longrightarrow 0} \dfrac{f(x)-f(0)}{x-0} = \lim_{x \longrightarrow 0} \dfrac{x \sin\left( \dfrac{1}{x} \right)-0}{x-0} = \lim_{x \longrightarrow 0} \dfrac{x \sin\left( \dfrac{1}{x} \right)}{x} = \lim_{x \longrightarrow 0} \sin\left( \dfrac{1}{x} \right)

Posons

X = \dfrac{1}{x}

. Comme

x \longrightarrow 0

on en déduit (suivant le signe de

x

) que

X \longrightarrow \pm \infty

. Dans ce cas on obtient :

\lim_{x \longrightarrow 0} \dfrac{f(x)-f(0)}{x-0} = \lim_{x \longrightarrow \pm \infty} \sin\left( X \right)

Comme le sinus est constamment oscillant entre

-1

et

1

, on en déduit que cette limite n'existe pas.

Question 15

Soit $x$ un réel strictement supérieur à $1$ . L'expression de la dérivée $f'$ de l'expression fonctionnelle $f(x) = x^{\frac{\ln\left( \ln(x) \right)}{\ln(x)}}$ est :
$\bf{a.}$ $\ln(x)$ $\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;$ $\bf{b.}$ $\dfrac{e^x}{x}$
$\bf{c.}$ $\dfrac{1}{x}$ $\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;$ $\bf{d.}$ $1$

Correction

\red{\text{la bonne réponse est } c}

\red{\boxed{\text{Simplifier l'expression de la fonction avant de débuter le processus classique de dérivation}}}

En effet :

f(x) = x^{\frac{\ln\left( \ln(x) \right)}{\ln(x)}} = e^{\ln \left( x^{\frac{\ln\left( \ln(x) \right)}{\ln(x)}} \right)} = e^{\frac{\ln\left( \ln(x) \right)}{\ln(x)} \ln(x)}

Comme

x>1

alors

\ln(x) \neq 0

et donc il est possible de simplifier par

\ln(x)

. On obtient alors :

f(x) = x^{\frac{\ln\left( \ln(x) \right)}{\ln(x)}} = e^{\ln\left( \ln(x) \right)} = \ln(x)

Ainsi :

f(x) = \ln(x)

Finalement :

f'(x) = \dfrac{1}{x}

Question 16

Soit $x$ un réel strictement positif. L'expression de la dérivée $f'$ de l'expression fonctionnelle $f(x) = x^{x^{x}}$ est :
$\bf{a.}$ $\left( x \ln(x) \left( 1 + \ln(x) \right) + 1 \right) \, x^{x^{x} + x-1}$ $\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;$ $\bf{b.}$ $\left( 2x \ln(x) + 1 \right) \, x^{x^{x}}$
$\bf{c.}$ $\left( 1 + 2x^2\ln(x) \right) \, x^{2x}$ $\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;$ $\bf{d.}$ $\left( 2x \ln^2(x) + \ln(x) \right) \, x^{1 +x^{x}}$

Correction

\red{\text{la bonne réponse est } a}

\red{\boxed{\text{Réécrire l'expression de la fonction proposée avec l'exponentielle et le logarithme népérien}}}

En effet :

f(x) = x^{x^{x}} = e^{\ln\left( x^{x^{x}} \right)} = e^{\ln \left( x^{\left( x^x \right)} \right)} = e^{x^x \ln \left( x \right)}

Donc, en dérivant on obtient :

f'(x) = \left( x^{x^{x}} \right)' = \left( e^{x^x \ln (x)} \right)' = \left( x^x \ln(x) \right)' e^{x^x \ln(x)} = \left( x^x \ln(x) \right)' x^{x^{x}}

Mais, on a :

\left( x^x \ln(x) \right)' = (x^x)' \ln(x) + x^x (\ln(x))' = (x^x)' \ln(x) + x^x \dfrac{1}{x} = (x^x)' \ln(x) + x^x x^{-1} = (x^x)' \ln(x) + x^{x-1}

Mais, on sait que :

(x^x)' = \left( e^{x \ln(x)}\right)' = \left( x \ln(x) \right)' \times e^{x \ln(x)} = \left( x' \ln(x) + x \ln'(x) \right)' \times e^{\ln(x^x)} = \left( 1 \times \ln(x) + x \times \dfrac{1}{x}\right) \times x^x = \left( \ln(x) + \dfrac{x}{x}\right) \times x^x = \left( \ln(x) +1 \right) \times x^x

Soit :

(x^x)' = \left( 1 + \ln(x) \right) \, x^x

Ainsi, on a :

\left( x^x \ln(x) \right)' = \left( 1 + \ln(x) \right) \, x^x \ln(x) + x^{x-1}

Ce qui nous permet d'écrire que :

f'(x) = \left( \left( 1 + \ln(x) \right) \ln(x) \, x^x + x^{x-1} \right) x^{x^{x}} = \left( \left( 1 + \ln(x) \right) \ln(x) \, x^{x-1}x + x^{x-1} \right) x^{x^{x}} = \left( \left( 1 + \ln(x) \right) \ln(x) \, x + 1 \right) x^{x^{x}} x^{x-1} = \left( \left( 1 + \ln(x) \right) \ln(x) \, x + 1 \right) x^{x^{x} + x-1}

Finalement, on trouve que :

f'(x) = \left( x \ln(x) \left( 1 + \ln(x) \right) + 1 \right) \, x^{x^{x} + x-1}

Question 17

Soit $x$ un réel différent de $6$ . La valeur de l'intégrale $\int_{1}^{2} \dfrac{x^2-7x+10}{x-6} \, dx$ est :
$\bf{a.}$ $\dfrac{1 + 4\ln\left( \dfrac{4}{5} \right)}{2}$ $\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;$ $\bf{b.}$ $\dfrac{1 + 8\ln\left( \dfrac{4}{5} \right)}{2}$
$\bf{c.}$ $\dfrac{1 + 4\ln\left( \dfrac{5}{4} \right)}{2}$ $\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;$ $\bf{d.}$ $\dfrac{1 - 8\ln\left( \dfrac{5}{4} \right)}{2}$

Correction

\red{\text{la bonne réponse est } b}

\red{\boxed{\text{Utiliser une décomposition de la fonction, par exemple avec une division euclidienne ou faire usage de jeux d'écritures}}}

En effet, le terme

\dfrac{x^2-7x+10}{x-6}

peut être perçu comme la division euclidienne de

x^2-7x+10

par

x-6

. Donc on a :

\begin{array}{rrrr|ccc} & x^2 & -7x & +10 & x & - & 6 \\ - ( & x^2 & -6x & +0) & x & - & 1 \\ = & & -x & +10 & & & \\ & - ( & -x & +6) & & & \\ & = & & 4 & & & \\\end{array}

Ce qui nous donne :

x^2-7x+10 = (x-1) \, (x-6) + 4

Soit :

\dfrac{x^2-7x+10}{x-6} = \dfrac{(x-1) \, (x-6) + 4}{x-6} = \dfrac{(x-1) \, (x-6) }{x-6} + \dfrac{4}{x-6} = x-1 + \dfrac{4}{x-6}

Ainsi, on eut écrire que :

\int_{1}^{2} \dfrac{x^2-7x+10}{x-6} \, dx = \int_{1}^{2} \left( x-1 + \dfrac{4}{x-6} \right) \, dx = \int_{1}^{2} \left( x-1 \right) \, dx + \int_{1}^{2} \left( \dfrac{4}{x-6} \right) \, dx = \int_{1}^{2} \left( x-1 \right) \, dx + 4\int_{1}^{2} \left( \dfrac{1}{x-6} \right) \, dx = \int_{1}^{2} \left( x-1 \right) \, dx + 4\int_{1}^{2} \left( \dfrac{(x-6)'}{x-6} \right) \, dx

En intégrant, on obtient :

\int_{1}^{2} \dfrac{x^2-7x+10}{x-6} \, dx = \left[ \dfrac{x^2}{2}-x \right]_{1}^{2} + 4 \left[ \ln(x-6) \right]_{1}^{2} = \left( \dfrac{2^2}{2}-2 \right) - \left( \dfrac{1^2}{2}-1 \right) + 4 \ln\left( \dfrac{2-6}{1-6} \right) = \left(0 \right) - \left( -\dfrac{1}{2} \right) + 4 \ln\left( \dfrac{-4}{-5} \right) = \dfrac{1}{2}+4\ln\left( \dfrac{4}{5} \right)

Finalement :

\int_{1}^{2} \dfrac{x^2-7x+10}{x-6} \, dx = \dfrac{1 + 8\ln\left( \dfrac{4}{5} \right)}{2}

Question 18

Soit $a$ et $b$ deux nombres réels. Soit $k$ une constante réelle. les primitives de $\dfrac{x + a}{x + b}$ sont de la forme :
$\bf{a.}$ $(a-b) \ln(x+b) + k$ $\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;$ $\bf{b.}$ $x + (a-b) \ln(x+b) + k$
$\bf{c.}$ $(a+b) \ln \left( \dfrac{x+a}{x+b}\right) + k$ $\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;$ $\bf{d.}$ $x \left(1 + (a-b) \ln(x+b)\right) + k$

Correction

\red{\text{la bonne réponse est } b}

\red{\boxed{\text{Utiliser une décomposition par jeu d'écriture simple}}}

En effet :

\dfrac{x + a}{x + b} = \dfrac{x + a + b - b}{x + b} = \dfrac{x + b + a-b}{x + b} = \dfrac{x + b}{x + b} + \dfrac{a-b}{x + b} = 1 + (a-b)\dfrac{1}{x + b} = 1 + (a-b)\dfrac{(x+b)'}{x + b}

En primitivant cette dernière expression, on trouve que la primitive recherchée est donnée par :

x + (a-b) \ln(x+b) + k

Question 19

La valeur de l'intégrale $I=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} x^2 \cos(x) \, dx$ est :
$\bf{a.}$ $4\pi^2$ $\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;$ $\bf{b.}$ $\pi^2-4$
$\bf{c.}$ $\pi$ $\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;$ $\bf{d.}$ $\dfrac{\pi^2-8}{4}$

Correction

\red{\text{la bonne réponse est } d}

\red{\boxed{\text{Il faut réaliser successivement deux intégrations par parties}}}

En effet, en effectuant une intégration par parties, on trouve que :

I=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} x^2 \cos(x) \, dx = \left[ x^2 \times \sin(x) \right]_{0}^{\frac{\pi}{2}} - \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} 2x \times \sin(x) \, dx = \left[ x^2 \sin(x) \right]_{0}^{\frac{\pi}{2}} - 2 \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} x \sin(x) \, dx

Soit :

I = \left( \dfrac{\pi}{2}\right)^2 \sin\left( \dfrac{\pi}{2}\right) - 0^2 \sin\left( 0 \right) - 2 \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} x \sin(x) \, dx

Comme

\sin\left( \dfrac{\pi}{2}\right) = 1

, on en déduit que :

I = \dfrac{\pi^2}{4} - 2 \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} x \sin(x) \, dx

En effectuant une nouvelle intégration par parties, on obtient :

I = \dfrac{\pi^2}{4} - 2 \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} x \sin(x) \, dx = \dfrac{\pi^2}{4} - 2 \left( \left[ x \times (-\cos(x)) \right]_{0}^{\frac{\pi}{2}} - \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} 1 \times (-\cos(x)) \, dx \right) = \dfrac{\pi^2}{4} + 2 \left( \left[ x \cos(x) \right]_{0}^{\frac{\pi}{2}} - \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos(x) \, dx \right)

Ce qui nous donne :

I = \dfrac{\pi^2}{4} + 2 \left( \dfrac{\pi}{2} \cos\left( \dfrac{\pi}{2}\right) - 0 \cos\left( 0 \right) - \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos(x) \, dx \right)

Comme

\cos\left( \dfrac{\pi}{2}\right) = 0

, on en déduit que :

I = \dfrac{\pi^2}{4} + 2 \left( 0 - 0 - \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos(x) \, dx \right) = \dfrac{\pi^2}{4} - 2 \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos(x) \, dx = \dfrac{\pi^2}{4} - 2 \left[\sin(x) \right]_{0}^{\frac{\pi}{2}} = \dfrac{\pi^2}{4} - 2 \left( \sin\left( \dfrac{\pi}{2}\right) - \sin(0) \right)

Soit :

I = \dfrac{\pi^2}{4} - 2 \left( 1 - 0 \right) = \dfrac{\pi^2}{4} - 2 \times 1 = \dfrac{\pi^2}{4} - 2 = \dfrac{\pi^2}{4} - \dfrac{8}{4}

Finalement :

I=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} x^2 \cos(x) \, dx = \dfrac{\pi^2-8}{4}

Question 20

La valeur de l'intégrale $\int_{\frac{1}{2}}^{\frac{3}{4}} \dfrac{1}{\sqrt{x \, (1-x)}} \, dx$ est :
$\bf{a.}$ $-4\pi^2$ $\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;$ $\bf{b.}$ $0$
$\bf{c.}$ $\dfrac{\pi}{6}$ $\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;$ $\bf{d.}$ $+\infty$

Correction

\red{\text{la bonne réponse est } c}

\red{\boxed{\text{Il faut réaliser un changement de variable ou refléchir sur l'interprétation géométrique de de l'intégrale}}}

\blue{\hookrightarrow}

\blue{\text{Méthode 1 : le changement de variable}}

Dans l'intégrale

\int_{\frac{1}{2}}^{\frac{3}{4}} \dfrac{1}{\sqrt{x \, (1-x)}} \, dx

la présence du terme

\sqrt{1-x}

nous rappelle l'expression trigonométrique

\sqrt{1-\sin^2(X)}

qui se simplifie drastiquement en

\cos(X)

. C'est pourquoi, on va poser le changement de variable suivant :

x = \sin^2(X) \,\,\, \Longrightarrow \,\,\, 1-x = 1-\sin^2(X) = \cos^2(X)

Ce qui implique pour la dérivée :

\dfrac{dx}{dX} = \dfrac{d}{dX}\left(\sin^2(X) \right) \,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\, \dfrac{dx}{dX} = 2\cos(X)\sin(X) \,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\, dx = 2\cos(X)\sin(X) \, dX

En ce qui concerne les bornes de l'intégrale, on a :

\,\, \bullet \,\,

Si

x=\dfrac{1}{2}

alors

\sin^2(X)=\dfrac{1}{2}

et on en déduit que (puisque

x>0

dans le domaine d'intégration)

\sin(X)=+\sqrt{\dfrac{1}{2}} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}

. Et dans ce cas on en déduit que

X = \dfrac{\pi}{4}

.

\,\, \bullet \bullet \,\,

Si

x=\dfrac{3}{4}

alors

\sin^2(X)=\dfrac{3}{4}

et on en déduit que (puisque

x>0

dans le domaine d'intégration)

\sin(X)=+\sqrt{\dfrac{3}{4}} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}

. Et dans ce cas on en déduit que

X = \dfrac{\pi}{3}

.
Ainsi, l'intégrale devient :

\int_{\frac{1}{2}}^{\frac{3}{4}} \dfrac{1}{\sqrt{x \, (1-x)}} \, dx = \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{3}} \dfrac{1}{\sqrt{\sin^2(X) \, \cos^2(X)}} \, 2\cos(X)\sin(X) \, dX

Sur l'intervalle

\left[ \frac{\pi}{4}\,;\, \frac{\pi}{3} \right]

on a

\cos(X)>0

et

\sin(X)>0

. Donc on a la simplification

\sqrt{\sin^2(X) \, \cos^2(X)} = \sin(X) \, \cos(X)

. D'où :

\int_{\frac{1}{2}}^{\frac{3}{4}} \dfrac{1}{\sqrt{x \, (1-x)}} \, dx = \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{3}} \dfrac{1}{\sin(X) \, \cos(X)} \, 2\cos(X)\sin(X) \, dX = \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{3}} 2 \, dX = 2 \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{3}} 1 \, dX = 2 [X]_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{3}} = 2 \left( \frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{4} \right) = 2 \left( \frac{4\pi}{12} - \frac{3\pi}{12} \right) = 2 \times \frac{\pi}{12} = \frac{2\pi}{12}

Finalement, on trouve que :

{\color{blue}{\boxed{\int_{\frac{1}{2}}^{\frac{3}{4}} \dfrac{1}{\sqrt{x \, (1-x)}} \, dx = \frac{\pi}{6}}}}

\blue{\hookrightarrow}

\blue{\text{Méthode 2 : interprétation géométrique de l'intégrale}}

Pour tout

x\in\left[ \dfrac{1}{2} \,;\, \dfrac{3}{4}\right]

on a

x>0

et

1-x>0

ce qui implique que

x(1-x)>0

, et de fait

\sqrt{x(1-x)}>0

. On sait que l'inversion d'une expression ne change pas le signe. Donc on en déduit que l'expression à intégrer est positive sur l'intervalle d'intégration :

\dfrac{1}{\sqrt{x \, (1-x)}} > 0

. De plus, comme

\dfrac{1}{2} < \dfrac{3}{4}

, on en déduit immédiatement que :

\int_{\frac{1}{2}}^{\frac{3}{4}} \dfrac{1}{\sqrt{x \, (1-x)}} \, dx > 0

A ce stade les réponses

\frac{\pi}{6}

et

+\infty

sont possibles.
Or, sur l'intervalle

\left[ \dfrac{1}{2} \,;\, \dfrac{3}{4}\right]

le terme à intégrer

f(x) = \dfrac{1}{\sqrt{x \, (1-x)}}

est continu. Et on a

f\left( x = \dfrac{1}{2} \right) = 2

et

f\left( x = \dfrac{3}{4} \right) = \dfrac{4}{\sqrt{3}}

, donc ce terme à intégrer est borné. Ainsi l'intégrale ne peut pas diverger, elle prend donc une valeur finie ; donc la proposition

+\infty

est impossible.
Finalement, seule la valeur

\frac{\pi}{6}

est possible. D'où :

{\color{blue}{\boxed{\int_{\frac{1}{2}}^{\frac{3}{4}} \dfrac{1}{\sqrt{x \, (1-x)}} \, dx = \frac{\pi}{6}}}}

QCM Bilan 2 - Exercice 1