Valeur absolue : savoir résoudre les équations de la forme ∣x∣=b\left|x\right|=b et ∣x−a∣=b\left|x-a\right|=b - Exercice 1

12 min
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COMPETENCES‾  :  Calculer{\color{red}\underline{COMPETENCES}\;:\;Calculer}
Question 1
Résoudre dans R\mathbb{R} les équations suivantes :

∣x∣=2\left|x\right|=2

Correction
Soit aa un réel positif alors :
  • ∣x∣=a\left|x\right|= {\color{blue}a} est équivalent à x=ax={\color{blue}a} ou x=−ax=-{\color{blue}a}
∣x∣=2\left|x\right|=2 équivaut successivement à :
x=2x=2 ou x=−2x=-2
Les solutions de l'équation ∣x∣=2\left|x\right|=2 est :
S={−2;2}S=\left\{-2;2\right\}
Question 2

∣x−5∣=12\left|x-5\right|=12

Correction
Soit aa un réel positif alors :
  • ∣x∣=a\left|x\right|= {\color{blue}a} est équivalent à x=ax={\color{blue}a} ou x=−ax=-{\color{blue}a}
∣x−5∣=12\left|x-5\right|=12 équivaut successivement à :
x−5=12x-5=12 ou x−5=−12x-5=-12
 Reˊsolvons d’une part :\red{\text{ Résolvons d'une part :}}
x−5=12x-5=12
x=12+5x=12+5
x=17x=17
 Reˊsolvons d’autre part :\red{\text{ Résolvons d'autre part :}}
x−5=−12x-5=-12
x=−12+5x=-12+5
x=−7x=-7
Les solutions de l'équation ∣x−5∣=12\left|x-5\right|=12 est :
S={−7;17}S=\left\{-7;17\right\}
Question 3

∣2x−6∣=4\left|2x-6\right|=4

Correction
Soit aa un réel positif alors :
  • ∣x∣=a\left|x\right|= {\color{blue}a} est équivalent à x=ax={\color{blue}a} ou x=−ax=-{\color{blue}a}
∣2x−6∣=4\left|2x-6\right|=4 équivaut successivement à :
2x−6=42x-6=4 ou 2x−6=−42x-6=-4
 Reˊsolvons d’une part :\red{\text{ Résolvons d'une part :}}
2x−6=42x-6=4
2x=4+62x=4+6
2x=102x=10
x=102x=\frac{10}{2}
x=5x=5
 Reˊsolvons d’autre part :\red{\text{ Résolvons d'autre part :}}
2x−6=−42x-6=-4
2x=−4+62x=-4+6
2x=22x=2
x=22x=\frac{2}{2}
x=1x=1
Les solutions de l'équation ∣x−5∣=12\left|x-5\right|=12 est :
S={1;5}S=\left\{1;5\right\}
Question 4

∣x∣=−9\left|x\right|=-9

Correction
  • Une valeur absolue ne peut donc pas eˆtre eˊgale aˋ un nombre neˊgatif .\red{\text{Une valeur absolue ne peut donc pas être égale à un nombre négatif .}}
  • En effet, nous rappelons qu'une valeur absolue est positive ou nulle .
L'équation ∣x∣=−9\left|x\right|=-9 n'a donc pas de solution.
Question 5

∣x+2∣=3\left|x+2\right|=3

Correction
Soit aa un réel positif alors :
  • ∣x∣=a\left|x\right|= {\color{blue}a} est équivalent à x=ax={\color{blue}a} ou x=−ax=-{\color{blue}a}
∣x+2∣=3\left|x+2\right|=3 équivaut successivement à :
x+2=3x+2=3 ou x+2=−3x+2=-3
 Reˊsolvons d’une part :\red{\text{ Résolvons d'une part :}}
x+2=3x+2=3
x=3−2x=3-2
x=1x=1
 Reˊsolvons d’autre part :\red{\text{ Résolvons d'autre part :}}
x+2=−3x+2=-3
x=−3−2x=-3-2
x=−5x=-5
Les solutions de l'équation ∣x+2∣=3\left|x+2\right|=3 est :
S={−5;1}S=\left\{-5;1\right\}

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