Valeur absolue : savoir résoudre les inéquations de la forme $\left|x-a\right|\le r$ et $\left|x-a\right|< r$ - Exercice 2

5 min

Question 1

Ecrire $\left|x-2\right|\le 8$ à l'aide d'un intervalle. Puis représenter l'inégalité sur un axe l'intervalle.

Correction

Pour tous nombres réels

a

r

, avec

r

un réel positif alors :

$\left|x-{\color{red}a}\right|\le {\color{blue}r}$ est équivalent à $x\in \left[{\color{red}a}-{\color{blue}r};{\color{red}a}+{\color{blue}r}\right]$
$\left|x-{\color{red}a}\right|< {\color{blue}r}$ est équivalent à $x\in \left]{\color{red}a}-{\color{blue}r};{\color{red}a}+{\color{blue}r}\right[$

On a donc :

\left|x-{\color{red}2}\right|\le {\color{blue}8}

est équivalent à :

x\in \left[{\color{red}2}-{\color{blue}8};{\color{red}2}+{\color{blue}8}\right]

Finalement :

\left|x-2\right|\le 8 \Leftrightarrow x\in\left[-6;10\right]

.
La représentation de l'inégalité

\left|x-2\right|\le 8

est donnée ci-dessous :

Question 2

Correction

Pour tous nombres réels

a

r

, avec

r

un réel positif alors :

$\left|x-{\color{red}a}\right|\le {\color{blue}r}$ est équivalent à $x\in \left[{\color{red}a}-{\color{blue}r};{\color{red}a}+{\color{blue}r}\right]$
$\left|x-{\color{red}a}\right|< {\color{blue}r}$ est équivalent à $x\in \left]{\color{red}a}-{\color{blue}r};{\color{red}a}+{\color{blue}r}\right[$

On a donc :

\left|x-{\color{red}3}\right|\le {\color{blue}4}

est équivalent à :

x\in \left[{\color{red}3}-{\color{blue}4};{\color{red}3}+{\color{blue}4}\right]

Finalement :

\left|x-3\right|\le 4 \Leftrightarrow x\in\left[-1;7\right]

.
La représentation de l'inégalité

\left|x-3\right|\le 4

est donnée ci-dessous :

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