Déterminer l'équation cartésienne d'une droite en utilisant le déterminant - Exercice 1

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Question 1
On donne les coordonnées des points AA et BB, déterminer une équation cartésienne de la droite (AB)\left(AB\right) dans les cas suivants :

A(2;3)A\left(2;3\right) et B(1;5) B\left(1;5\right)

Correction
Pour déterminer l'écriture cartésienne d'une droite passant par le point A(xA;yA)A\left(x_{A};y_{A}\right) et de vecteur directeur u→(mn)\overrightarrow{u} \left(\begin{array}{c} {m} \\ {n} \end{array}\right) . On procède comme suit :
  • 11 ère étape : on prend un point M(x;y)M\left(x;y\right) appartenant à la droite et il faut calculer le vecteur AM→\overrightarrow{AM}.
    • 22 ème étape : les vecteurs u→\overrightarrow{u} et AM→\overrightarrow{AM} sont colinéaires d'où : det⁡(AM→;u→)=0\det\left(\overrightarrow{AM} ;\overrightarrow{u} \right)=0
    Soit (0;i→;j→)\left(0;\overrightarrow{i} ;\overrightarrow{j} \right) un repère du plan.
    • Deux vecteurs u→(x;y)\overrightarrow{u} \left(x;y\right) et v→(x′;y′)\overrightarrow{v} \left(x';y'\right) sont colinéaires si et seulement si det⁡(u⃗;v⃗)=0\det\left(\vec{u} ;\vec{v} \right)=0 autrement dit si : xy′−x′y=0xy'-x'y=0.
    • det⁡(u→;v→)=xy′−x′y\det\left(\overrightarrow{u} ;\overrightarrow{v} \right)=xy'-x'y est appelé déterminant.
    • On peut également écrire les vecteurs u→\overrightarrow{u} et v→\overrightarrow{v} sous la forme u→(xy)\overrightarrow{u} \left(\begin{array}{c} {x} \\ {y} \end{array}\right) et v→(x′y′)\overrightarrow{v} \left(\begin{array}{c} {x'} \\ {y'} \end{array}\right).
    Nous allons calculer le vecteur AB→\overrightarrow{AB} qui sera un vecteur directeur de la droite (AB)\left(AB\right).
    AB→(xB−xAyB−yA)\overrightarrow{AB} \left(\begin{array}{c} {x_{B}-x_{A}} \\ {y_{B}-y_{A}} \end{array}\right) ce qui donne AB→(1−25−3)\overrightarrow{AB} \left(\begin{array}{c} {1-2} \\ {5-3} \end{array}\right) d'où AB→(−12)\overrightarrow{AB}\left(\begin{array}{c} {-1} \\ {2} \end{array}\right)
    Soit M(x;y)M\left(x;y\right) appartenant à la droite (AB)\left(AB\right). Nous allons calculer le vecteur AM→\overrightarrow{AM} .
    Ainsi :
    AM→(xM−xAyM−yA)\overrightarrow{AM} \left(\begin{array}{c} {x_{M}-x_{A}} \\ {y_{M}-y_{A}} \end{array}\right) ce qui donne AM→(x−2y−3)\overrightarrow{AM} \left(\begin{array}{c} {x-2} \\ {y-3} \end{array}\right)
    Comme le point M(x;y)M\left(x;y\right) appartient à la droite (AB)\left(AB\right) cela signifie que les points AA, BB et MM sont alignés. Autrement dit les vecteurs AM→\overrightarrow{AM} et AB→\overrightarrow{AB} sont colinéaires.
    Autrement dit :
    det⁡(AM→;AB→)=0\det \left(\overrightarrow{AM} ;\overrightarrow{AB} \right)=0
    (x−2)×2−(y−3)×(−1)=0\left(x-2\right)\times 2-\left(y-3\right)\times \left(-1\right)=0
    x×2+(−2)×2−(y×(−1)+(−3)×(−1))=0x\times 2+\left(-2\right)\times 2-\left(y\times \left(-1\right)+\left(-3\right)\times \left(-1\right)\right)=0
    2x−4−(−y+3)=02x-4-\left(-y+3\right)=0
    2x−4+y−3=02x-4+y-3=0
    2x+y−7=02x+y-7=0

    L'équation cartésienne de la droite (AB)\left(AB\right) est alors 2x+y−7=02x+y-7=0 .

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