Encadrement - Exercice 1

7 min
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Question 1

Soit x∈[2;5]x\in\left[2;5\right]. Donner un encadrement de x\sqrt{x}.

Correction
x∈[2;5]x\in\left[2;5\right] se traduit en inégalité par 2≤x≤52\le x\le5 .
Or la fonction x↦xx\mapsto \sqrt{x} est croissante sur l'intervalle [0;+∞[\left[0;+\infty\right[ donc deux nombres positifs et leurs racines carrés sont rangés dans le même ordre. Il vient alors :
2≤x≤5\sqrt{2}\le \sqrt{x}\le \sqrt{5}
Ainsi :
2≤x≤5\sqrt{2}\le \sqrt{x}\le5

Question 2

Soit x∈[1;6]x\in\left[1;6\right]. Donner un encadrement de x\sqrt{x}.

Correction
x∈[1;6]x\in\left[1;6\right] se traduit en inégalité par 1≤x≤61\le x\le6 .
Or la fonction x↦xx\mapsto \sqrt{x} est croissante sur l'intervalle [0;+∞[\left[0;+\infty\right[ donc deux nombres positifs et leurs racines carrés sont rangés dans le même ordre. Il vient alors :
1≤x≤6\sqrt{1}\le \sqrt{x}\le \sqrt{6}
Ainsi :
1≤x≤61\le \sqrt{x}\le\sqrt{6}

Question 3

Soit x∈]5;9]x\in\left]5;9\right]. Donner un encadrement de x\sqrt{x}.

Correction
x∈]5;9]x\in\left]5;9\right] se traduit en inégalité par 5<x≤95< x\le9 .
Or la fonction x↦xx\mapsto \sqrt{x} est croissante sur l'intervalle [0;+∞[\left[0;+\infty\right[ donc deux nombres positifs et leurs racines carrés sont rangés dans le même ordre. Il vient alors :
5<x≤9\sqrt{5}< \sqrt{x}\le \sqrt{9}
Ainsi :
5<x≤3\sqrt{5}< \sqrt{x}\le3

Question 4

Soit x∈]25;36[x\in\left]25;36\right[. Donner un encadrement de x\sqrt{x}.

Correction
x∈]25;36[x\in\left]25;36\right[ se traduit en inégalité par 25<x<3625< x< 36 .
Or la fonction x↦xx\mapsto \sqrt{x} est croissante sur l'intervalle [0;+∞[\left[0;+\infty\right[ donc deux nombres positifs et leurs racines carrés sont rangés dans le même ordre. Il vient alors :
25<x<36\sqrt{25}< \sqrt{x}< \sqrt{36}
Ainsi :
5<x<65< \sqrt{x}<6
Question 5

Soit x∈[7;11[x\in\left[7;11\right[. Donner un encadrement de x\sqrt{x}.

Correction
x∈[7;11[x\in\left[7;11\right[ se traduit en inégalité par 7≤x<117\le x<11 .
Or la fonction x↦xx\mapsto \sqrt{x} est croissante sur l'intervalle [0;+∞[\left[0;+\infty\right[ donc deux nombres positifs et leurs racines carrés sont rangés dans le même ordre. Il vient alors :
7≤x<11\sqrt{7}\le \sqrt{x}< \sqrt{11}
Ainsi :
7≤x<11\sqrt{7}\le \sqrt{x}< \sqrt{11}

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