Exercices Types : Partie 1 - Fonction homographique : $f\left(x\right)=\frac{ax+b}{cx+d} $ - Seconde

Question 1

La fonction

f

définie par

f\left(x\right)=\frac{4x-1}{5x-2}

.

Montrer que $f$ est une fonction homographique.

Correction

On appelle fonction homographique toute fonction $f$ qui peut s’écrire sous la forme $f\left(x\right)=\frac{ax+b}{cx+d}$ où $a$ , $b$ , $c\ne0$ et $d$ sont des réels tels que $ad-bc\ne0$ .

Ici nous avons

a=4

,

b=-1

,

c=5\ne0

et

d=-2

.
De plus :

ad-bc=4\times\left(-2\right)-\left(-1\right)\times5

ainsi :

ad-bc=-8+5\ne0

.
La fonction

f

est bien une fonction homographique.

Question 2

Déterminer l'ensemble de définition de la fonction $f$ .

Correction

Une fonction homographique est définie pour tout réel $x$ tel que le dénominateur ne s'annule pas.

Le dénominateur ici est

5x-2

.

f

est définie pour tout réel

x

tel

5x-2\ne0

c'est à dire

5x\ne2

d'où :

x\ne\frac{2}{5}

L'ensemble de définition de la fonction

f

est

D=\left]-\infty ;\frac{2}{5}\right[\cup \left]\frac{2}{5};+\infty \right[

que l’on note aussi

\mathbb{R}-\left\{\frac{2}{5}\right\}

.

Question 3

Soit la fonction

d

définie par :

d\left(x\right)=\frac{-6x+3}{5x-2}

Dresser le tableau de signes de $d\left(x\right)$ .

Correction

Pour étudier le signe d'un quotient :

On cherche les valeurs qui annulent le dénominateur. (valeurs interdites)
On étudie le signe du numérateur et du dénominateur et on regroupe dans un tableau le signe de chaque terme.
On utilise la règle des signes pour remplir la dernière ligne.

En italique ce sont des phrases explicatives qui ne doivent pas apparaitre sur vos copies, elles servent juste à vous expliquer le raisonnement.

\red{\text{D'une part :}}

-6x+3=0\Leftrightarrow -6x=-3\Leftrightarrow x=\frac{-3}{-6}=\frac{1}{2}

Soit

x\mapsto -6x+3

est une fonction affine décroissante car son coefficient directeur

a=-6<0

. (Cela signifie que la fonction DESCEND donc on commencera dans la ligne $-6x+3$ par le signe $\left(+\right)$ et dès que l'on dépasse la valeur $x=\frac{1}{2}$ on mettra le signe $\left(-\right)$ dans le tableau de signe.)

\red{\text{D'autre part :}}

5x-2=0\Leftrightarrow 5x=2\Leftrightarrow x=\frac{2}{5}

. Attention, ici

x=\frac{2}{5}

est la valeur interdite.
Soit

x\mapsto 5x-2

est une fonction affine croissante car son coefficient directeur

a=5>0

. (Cela signifie que la fonction MONTE donc on commencera dans la ligne $5x-2$ par le signe $\left(-\right)$ et dès que l'on dépasse la valeur $x=\frac{2}{5}$ on mettra le signe $\left(+\right)$ dans le tableau de signe.)
Le tableau du signe du quotient est donné ci-dessous :

(La double barre dans le tableau indique que $x=\frac{2}{5}$ est une valeur interdite)

Question 4

Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'inéquation $d\left(x\right)\le0$

Correction

Nous reprenons le tableau de signe de la fonction

d\left(x\right)

vu à la question

3

.

L'inéquation

d\left(x\right)\le0

admet comme solution :

S=\left]-\infty ;\frac{2}{5} \right[\cup \left[\frac{1}{2} ;+\infty \right[

Question 5

Démontrer que, pour tout réel $x\ne \frac{2}{5}$ , on a : $f\left(x\right)-2=d\left(x\right)$

Correction

f\left(x\right)-2=\frac{4x-1}{5x-2}-2

f\left(x\right)-2=\frac{4x-1}{5x-2} -\frac{2}{1}

f\left(x\right)-2=\frac{4x-1}{5x-2} -\frac{2\left(5x-2\right)}{5x-2}

f\left(x\right)-2=\frac{4x-1-2\left(5x-2\right)}{5x-2}

f\left(x\right)-2=\frac{4x-1-\left(10x-4\right)}{5x-2}

f\left(x\right)-2=\frac{4x-1-10x+4}{5x-2}

f\left(x\right)-2=\frac{-6x+3}{5x-2}

f\left(x\right)-2=d\left(x\right)

Exercices Types : Partie 1 - Exercice 2

Montrer que fff est une fonction homographique.

Déterminer l'ensemble de définition de la fonction fff.

Dresser le tableau de signes de d(x)d\left(x\right)d(x).

Résoudre dans R\mathbb{R}R l'inéquation d(x)≤0d\left(x\right)\le0d(x)≤0

Démontrer que, pour tout réel x≠25x\ne \frac{2}{5}x=52​, on a : f(x)−2=d(x)f\left(x\right)-2=d\left(x\right)f(x)−2=d(x)

Montrer que $f$ est une fonction homographique.

Déterminer l'ensemble de définition de la fonction $f$ .

Dresser le tableau de signes de $d\left(x\right)$ .

Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'inéquation $d\left(x\right)\le0$

Démontrer que, pour tout réel $x\ne \frac{2}{5}$ , on a : $f\left(x\right)-2=d\left(x\right)$