Etude du signe d'un produit - Exercice 4

Pour résoudre cette inéquation, il faut tout d'abord faire le tableau signe de l'expression $$\left(-8x+32\right)\left(2x+1\right)$$.

$$\red{\text{D'une part :}}$$

$$-8x+32=0\Leftrightarrow -8x=-32\Leftrightarrow x=\frac{-32}{-8}=4$$
Soit $$x\mapsto -8x+32$$ est une fonction affine décroissante car son coefficient directeur $$a=-8<0$$. (Cela signifie que la fonction DESCEND donc on commencera dans la ligne $$-8x+32$$ par le signe $$\left(+\right)$$ et dès que l'on dépasse la valeur $$x=4$$ on mettra le signe $$\left(-\right)$$ dans le tableau de signe.)

$$\red{\text{D'autre part :}}$$

$$2x+1=0\Leftrightarrow 2x=-1\Leftrightarrow x=\frac{-1}{2}=-\frac{1}{2}$$
Soit $$x\mapsto 2x+1$$ est une fonction affine croissante car son coefficient directeur $$a=2>0$$. (Cela signifie que la fonction DESCEND donc on commencera dans la ligne $$2x+1$$ par le signe $$\left(-\right)$$ et dès que l'on dépasse la valeur $$x=-\frac{1}{2}$$ on mettra le signe $$\left(+\right)$$ dans le tableau de signe.)
Le tableau du signe du produit est donné ci-dessous :
Maintenant que nous avons le tableau de signe, nous allons pouvoir résoudre l'inéquation $$\left(-8x+32\right)\left(2x+1\right)\le0$$. Il nous faut regarder la dernière ligne du tableau de signe. En effet, $$\left(-8x+32\right)\left(2x+1\right)\le0$$ signifie que nous cherchons le signe $${\color{red}\text{moins}}$$ dans la dernière ligne du tableau de signe.
Ainsi :

Pour résoudre cette inéquation, il faut tout d'abord faire le tableau signe de l'expression $$\left(3x+3\right)\left(-x-6\right)$$.

$$\red{\text{D'une part :}}$$

$$3x+3=0\Leftrightarrow 3x=-3\Leftrightarrow x=\frac{-3}{3}=-1$$
Soit $$x\mapsto 3x+3$$ est une fonction affine croissante car son coefficient directeur $$a=3>0$$. (Cela signifie que la fonction DESCEND donc on commencera dans la ligne $$3x+3$$ par le signe $$\left(-\right)$$ et dès que l'on dépasse la valeur $$x=-1$$ on mettra le signe $$\left(+\right)$$ dans le tableau de signe.)

$$\red{\text{D'autre part :}}$$

$$-x-6=0\Leftrightarrow -x=6\Leftrightarrow x=-6$$
Soit $$x\mapsto -x-6$$ est une fonction affine décroissante car son coefficient directeur $$a=-1<0$$. (Cela signifie que la fonction DESCEND donc on commencera dans la ligne $$-x-6$$ par le signe $$\left(+\right)$$ et dès que l'on dépasse la valeur $$x=-6$$ on mettra le signe $$\left(-\right)$$ dans le tableau de signe.)

Le tableau du signe du produit est donné ci-dessous :
Maintenant que nous avons le tableau de signe, nous allons pouvoir résoudre l'inéquation $$\left(3x-3\right)\left(-x-6\right)\ge0$$. Il nous faut regarder la dernière ligne du tableau de signe. En effet, $$\left(3x+3\right)\left(-x-6\right)\ge0$$ signifie que nous cherchons le signe $${\color{red}\text{plus}}$$ dans la dernière ligne du tableau de signe.
Ainsi :

Pour résoudre cette inéquation, il faut tout d'abord faire le tableau signe de l'expression $$\left(3x-4\right)\left(5x-25\right)$$.

D'une part :

$$3x-4=0\Leftrightarrow 3x=4\Leftrightarrow x=\frac{4}{3}$$
Soit $$x\mapsto 3x-4$$ est une fonction affine croissante car son coefficient directeur $$a=3>0$$. (Cela signifie que la fonction MONTE donc on commencera dans la ligne $$3x-4$$ par le signe $$\left(-\right)$$ et dès que l'on dépasse la valeur $$x=\frac{4}{3}$$ on mettra le signe $$\left(+\right)$$ dans le tableau de signe.)

D'autre part :

$$5x-25=0\Leftrightarrow 5x=25\Leftrightarrow x=\frac{25}{5}=5$$
Soit $$x\mapsto 5x-25$$ est une fonction affine croissante car son coefficient directeur $$a=5>0$$. (Cela signifie que la fonction MONTE donc on commencera dans la ligne $$5x-25$$ par le signe $$\left(-\right)$$ et dès que l'on dépasse la valeur $$x=5$$ on mettra le signe $$\left(+\right)$$ dans le tableau de signe.)
Le tableau du signe du produit est donné ci-dessous :
Maintenant que nous avons le tableau de signe, nous allons pouvoir résoudre l'inéquation $$\left(3x-4\right)\left(5x-25\right)< 0$$. Il nous faut regarder la dernière ligne du tableau de signe. En effet, $$\left(3x-4\right)\left(5x-25\right)< 0$$ signifie que nous cherchons le signe $${\color{red}\text{moins}}$$ dans la dernière ligne du tableau de signe.
Ainsi :

Pour résoudre cette inéquation, il faut tout d'abord faire le tableau signe de l'expression $$\left(11x-44\right)\left(13x-39\right)$$.

D'une part :

$$11x-44=0\Leftrightarrow 11x=44\Leftrightarrow x=\frac{44}{11}=4$$
Soit $$x\mapsto 11x-44$$ est une fonction affine croissante car son coefficient directeur $$a=11>0$$. (Cela signifie que la fonction MONTE donc on commencera dans la ligne $$11x-44$$ par le signe $$\left(-\right)$$ et dès que l'on dépasse la valeur $$x=4$$ on mettra le signe $$\left(+\right)$$ dans le tableau de signe.)

D'autre part :

$$13x-39=0\Leftrightarrow 13x=39\Leftrightarrow x=\frac{39}{13}=3$$
Soit $$x\mapsto 13x-39$$ est une fonction affine croissante car son coefficient directeur $$a=13>0$$. (Cela signifie que la fonction MONTE donc on commencera dans la ligne $$13x-39$$ par le signe $$\left(-\right)$$ et dès que l'on dépasse la valeur $$x=3$$ on mettra le signe $$\left(+\right)$$ dans le tableau de signe.)
Le tableau du signe du produit est donné ci-dessous :
Maintenant que nous avons le tableau de signe, nous allons pouvoir résoudre l'inéquation $$\left(11x-44\right)\left(13x-39\right)>0$$. Il nous faut regarder la dernière ligne du tableau de signe. En effet, $$\left(11x-44\right)\left(13x-39\right)>0$$ signifie que nous cherchons le signe $${\color{red}\text{plus}}$$ dans la dernière ligne du tableau de signe.
Ainsi :

Pour résoudre cette inéquation, il faut tout d'abord faire le tableau signe de l'expression $$\left(6x+4\right)\left(7x-5\right)$$.

D'une part :

$$6x+4=0\Leftrightarrow 6x=-4\Leftrightarrow x=\frac{-4}{6}=-\frac{2}{3}$$
Soit $$x\mapsto 6x+4$$ est une fonction affine croissante car son coefficient directeur $$a=6>0$$. (Cela signifie que la fonction MONTE donc on commencera dans la ligne $$6x+4$$ par le signe $$\left(-\right)$$ et dès que l'on dépasse la valeur $$x=-\frac{2}{3}$$ on mettra le signe $$\left(+\right)$$ dans le tableau de signe.)

D'autre part :

$$7x-5=0\Leftrightarrow 7x=5\Leftrightarrow x=\frac{5}{7}$$
Soit $$x\mapsto 7x-5$$ est une fonction affine croissante car son coefficient directeur $$a=7>0$$. (Cela signifie que la fonction MONTE donc on commencera dans la ligne $$7x-5$$ par le signe $$\left(-\right)$$ et dès que l'on dépasse la valeur $$x=\frac{5}{7}$$ on mettra le signe $$\left(+\right)$$ dans le tableau de signe.)
Le tableau du signe du produit est donné ci-dessous :
Maintenant que nous avons le tableau de signe, nous allons pouvoir résoudre l'inéquation $$\left(6x+4\right)\left(7x-5\right)\le0$$. Il nous faut regarder la dernière ligne du tableau de signe. En effet, $$\left(6x+4\right)\left(7x-5\right)\le0$$ signifie que nous cherchons le signe $${\color{red}\text{moins}}$$ dans la dernière ligne du tableau de signe.
Ainsi :