Exercices types : BILAN avant le DS - Exercice 2

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Soit ff la fonction définie sur R\mathbb{R} par f(x)=−x2+2x−6f\left(x\right)=-x^{2}+2x-6.
On note Cf\mathscr{C_f} la courbe représentative de ff .
Question 1

Calculer l'image de −1-1 par la fonction ff.

Correction
Il nous faut calculer f(−1)f\left(-1\right) . Il vient alors que :
f(−1)=−(−1)2+2×(−1)−6f\left(-1\right)=-\left(-1\right)^{2}+2\times\left(-1\right)-6
f(−1)=−1×(1)−2−6f\left(-1\right)=-1\times\left(1\right)-2-6
f(−1)=−1−2−6f\left(-1\right)=-1-2-6
Ainsi :
f(−1)=−9f\left(-1\right)=-9

L'image de −1-1 par la fonction ff vaut −9-9 .
Question 2

Le point A(−3;21)A\left(-3;21\right) appartient-il à Cf\mathscr{C_f} ?

Correction
Le point A(−3;21)A\left(-3;21\right) appartient à Cf\mathscr{C_f} si et seulement si f(−3)=21f\left(-3\right)=21.
Il nous donc calculer f(−3)f\left(-3\right) .
f(−3)=−(−3)2+2×(−3)−6f\left(-3\right)=-\left(-3\right)^{2}+2\times\left(-3\right)-6
f(−3)=−1×(9)−6−6f\left(-3\right)=-1\times\left(9\right)-6-6
f(−3)=−9−6−6f\left(-3\right)=-9-6-6
Ainsi :
f(−3)=−21f\left(-3\right)=-21

Or f(−3)=−21≠21f\left(-3\right)=-21\ne21
Le point A(−3;21)A\left(-3;21\right) n'appartient pas à Cf\mathscr{C_f} .
Question 3

Déterminer les antécédents de −6-6 par ff .

Correction
Pour déterminer les antécédents de −6-6 par ff, nous allons résoudre f(x)=−6f\left(x\right)=-6.
f(x)=−6f\left(x\right)=-6 équivaut successivement à :
−x2+2x−6=−6-x^{2}+2x-6=-6
−x2+2x=0-x^{2}+2x=0
Le facteur commun ici est x{\color{red}x}.
x×(−x)+2×x=0 {\color{red}x}\times \left(-x\right)+2\times {\color{red}x}=0
x(−x+2)=0{\color{red}x}\left(-x+2\right)=0 . Il s'agit d'une équation produit nul.
x=0x=0 ou −x+2=0-x+2=0
  • D’une part :\red{\text{D'une part :}} résolvons x=0x=0 qui donne x=0x=0
  • D’une part :\red{\text{D'une part :}} résolvons −x+2=0-x+2=0 qui donne −x=−2-x=-2. D'où : x=−2−1=2x=\frac{-2}{-1}=2
    • Les solutions de l'équation sont alors :
    S={0;2}S=\left\{0;2\right\}

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