Exercices types : Equations - Exercice 1

$$3x-4=-5x+1$$ équivaut successivement à :
$$3x+5x=1+4$$
$$8x=5$$
$$x=\frac{5}{8}$$
La solution de l'équation est alors :

$$3\left(x-2\right)-\left(6x-1\right)=0$$ équivaut successivement à :
$$3\times x+3\times \left(-2\right)-\left(6x-1\right)=0$$
$$3x-6-\left(6x-1\right)=0$$ . Nous avons commencé par développer puis on réduit.
$$3x-6-6x+1=0$$ . Ici, nous avons changé les signes devant la parenthèse car nous avions le signe moins.
$$-3x-5=0$$
$$-3x=5$$
$$x=\frac{5}{-3}$$
$$x=-\frac{5}{3}$$
La solution de l'équation est alors :

$$\frac{2x-1}{3} =\frac{5x+4}{2}$$ équivaut successivement à :
$$\left(2x-1\right)\times 2=3\times\left(5x+4\right)$$
$$4x-2=15x+12$$
$$4x-15x=12+2$$
$$-11x=14$$
$$x=\frac{14}{-11}$$
$$x=-\frac{14}{11}$$
La solution de l'équation est alors :

$$\left(9x-1\right)\left(3x-8\right)=0$$ . Il s'agit d'une équation produit nul.
$$9x-1=0$$ ou $$3x-8=0$$

$$\red{\text{D'une part :}}$$ résolvons $$9x-1=0$$ qui donne $$9x=1$$ . D'où : $$x=\frac{1}{9}$$

$$\red{\text{D'autre part :}}$$ résolvons $$3x-8=0$$ qui donne $$3x=8$$ . D'où : $$x=\frac{8}{3}$$

Les solutions de l'équation sont alors :

Il est impératif ici de factoriser l'expression à l'aide de l'identité remarquable donnée ci-dessous :$$\left(2x-1\right)^{2} -100=0$$ équivaut successivement à :
$$\left(2x-1\right)^{2} -\left(10\right)^{2}=0$$
Ici nous avons $$a=2x-1$$ et $$b=10$$. Il vient alors que :
$$\left(2x-1-10\right)\left(2x-1+10\right)=0$$
$$\left(2x-11\right)\left(2x+9\right)=0$$ . Il s'agit d'une équation produit nul.
$$2x-11=0$$ ou $$2x+9=0$$

$$\red{\text{D'une part :}}$$ résolvons $$2x-11=0$$ qui donne $$2x=11$$ . D'où : $$x=\frac{11}{2}$$

$$\red{\text{D'autre part :}}$$ résolvons $$2x+9=0$$ qui donne $$2x=-9$$ . D'où : $$x=-\frac{9}{2}$$

Les solutions de l'équation sont alors :

$$4x^{2} +5x=0$$ équivaut successivement à :
Le facteur commun ici est $${\color{red}x}$$.
$${\color{red}x}\times 4x+5\times {\color{red}x}=0$$
$${\color{red}x}\left(4x+5\right)=0$$ . Il s'agit d'une équation produit nul.
$$x=0$$ ou $$4x+5=0$$

$$\red{\text{D'une part :}}$$ résolvons $$x=0$$ qui donne $$x=0$$

$$\red{\text{D'une part :}}$$ résolvons $$4x+5=0$$ qui donne $$4x=-5$$. D'où : $$x=-\frac{5}{4}$$

Les solutions de l'équation sont alors :

$$\left(4x+2\right)^{2} =\left(5x-1\right)^{2}$$ équivaut successivement à :
$$\left(4x+2\right)^{2} -\left(5x-1\right)^{2} =0$$
Il est impératif ici de factoriser l'expression à l'aide de l'identité remarquable donnée ci-dessous :Ici nous avons $$a=4x+2$$ et $$b=5x-1$$. Il vient alors que :
$$\left(4x+2-\left(5x-1\right)\right)\left(4x+2+\left(5x-1\right)\right)=0$$ .
$$\left(4x+2-5x+1\right)\left(4x+2+5x-1\right)=0$$
$$\left(-x+3\right)\left(9x+1\right)=0$$. Il s'agit d'une équation produit nul.
$$-x+3=0$$ ou $$9x+1=0$$

$$\red{\text{D'une part :}}$$ résolvons $$-x+3=0$$ qui donne $$-x=-3$$. D'où : $$x=3$$

$$\red{\text{D'autre part :}}$$ résolvons $$9x+1=0$$ qui donne $$9x=-1$$. D'où : $$x=-\frac{1}{9}$$

Les solutions de l'équation sont alors :