Savoir démontrer qu'une fonction est impaire - Exercice 2

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Question 1

Soit ff définie sur [−1;1]\left[-1;1\right] par f(x)=3x3−2xf\left(x\right)=3x^{3}-2x. Démontrer que la fonction ff est impaire.

Correction

Soit ff est une fonction définie sur un intervalle II . On dit que la fonction ff est impaire si les deux conditions ci-dessous sont vérifiées :
  • 11ère condition : pour tout réel xx appartenant à II, le réel −x-x appartient à II .
  • 22ème condition : pour tout réel xx appartenant à II, f(−x)=−f(x)f\left(-x\right)=-f\left(x\right)
L'intervalle [−1;1]\left[-1;1\right] est un intervalle qui est symétrique par rapport à 00 .
Donc pour tout réel xx appartenant à [−1;1]\left[-1;1\right] son opposé −x-x appartient également à l'intervalle [−1;1]\left[-1;1\right] . La 11ère condition est vérifiée.
Pour tout réel xx appartenant à [−1;1]\left[-1;1\right], on a :
f(−x)=(−x)3−2×(−x)f\left(-x\right)=\left(-x\right)^{3}-2\times{(-x)}
f(−x)=(−x)2×(−x)+2xf\left(-x\right)=\left(-x\right)^{2}\times\left(-x\right)+2x
f(−x)=x2×(−x)+2xf\left(-x\right)=x^{2}\times\left(-x\right)+2x
f(−x)=−x3+2xf\left(-x\right)=-x^{3}+2x
f(−x)=−1×x3+−1×(−2x)f\left(-x\right)={\color{red}-1}\times{x^{3}}+{\color{red}-1}\times{(-2x)}
f(−x)=−1(x3−2x)f\left(-x\right)=-1(x^{3}-2x)       \;\;\;Ici on factorise par −1-1.
Soit :
f(−x)=−f(x)f\left(-x\right)=-f\left(x\right)

Donc ff est une fonction impaire.
  • La courbe représentant une fonction impaire admet l'origine du repère comme centre de symétrie.

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