Savoir démontrer qu'une fonction est paire - Exercice 2

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Question 1

Soit ff définie sur [−3;3]\left[-3;3\right] par f(x)=x2+xf\left(x\right)=x^{2}+x. La fonction ff est-elle paire?

Correction

Soit ff est une fonction définie sur un intervalle II . On dit que la fonction ff est paire si les deux conditions ci-dessous sont vérifiées :
  • 11ère condition : pour tout réel xx appartenant à II, le réel −x-x appartient à II .
  • 22ème condition : pour tout réel xx appartenant à II, f(−x)=f(x)f\left(-x\right)=f\left(x\right)
L'intervalle [−3;3]\left[-3;3\right] est un intervalle qui est symétrique par rapport à 00 .
Donc pour tout réel xx appartenant à [−3;3]\left[-3;3\right] son opposé −x-x appartient également à l'intervalle [−3;3]\left[-3;3\right] . La 11ère condition est vérifiée.
Pour tout réel xx appartenant à [−3;3]\left[-3;3\right], on a :
f(−x)=(−x)2+(−x)f\left(-x\right)=\left(-x\right)^{2}+(-x)
f(−x)=(−x)×(−x)−xf\left(-x\right)=\left(-x\right)\times\left(-x\right)-x
f(−x)=x2−xf\left(-x\right)=x^{2}-x
Soit :
f(−x)≠f(x)f\left(-x\right)\neq{f(x)}

Donc ff n'est pas une fonction paire.
  • La courbe représentant une fonction paire est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.
    • A l'aide du graphique ci-dessous on peut constater que l'axe des ordonnées n'est pas un axe de symétrie.

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