Comment déterminer les coordonnées d'un point à l'aide d'une relation vectorielle - Exercice 2

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Soit (0;i→;j→)\left(0;\overrightarrow{i} ;\overrightarrow{j} \right) un repère du plan. On considère les points A(2;1)A\left(2;1\right) ; B(3;2)B\left(3;2\right) ; C(−2;−3)C\left(-2;-3\right) et D(8;−13)D\left(8;-13\right).
Question 1

Montrer que les points AA,BB et CC sont alignés.

Correction
  • Les points AA, BB et CC sont alignés si, et seulement si les vecteurs AB→\overrightarrow{AB} et AC→\overrightarrow{AC} sont colinéaires.
On commence par calculer les vecteurs AB⃗\vec{AB} et AC⃗\vec{AC}. Ainsi :
AB→(xB−xAyB−yA)\overrightarrow{AB} \left(\begin{array}{c} {x_{B}-x_{A}} \\ {y_{B}-y_{A}} \end{array}\right) ainsi AB→(3−22−1)\overrightarrow{AB} \left(\begin{array}{c} {3-2} \\ {2-1} \end{array}\right) d'où : AB→(11)\overrightarrow{AB} \left(\begin{array}{c} {1} \\ {1} \end{array}\right)
AC→(xC−xAyC−yA)\overrightarrow{AC} \left(\begin{array}{c} {x_{C}-x_{A}} \\ {y_{C}-y_{A}} \end{array}\right) ainsi AC→(−2−2−3−1)\overrightarrow{AC} \left(\begin{array}{c} {-2-2} \\ {-3-1} \end{array}\right) d'où : AC→(−4−4)\overrightarrow{AC} \left(\begin{array}{c} {-4} \\ {-4} \end{array}\right)
Maintenant , nous allons vérifier si les vecteurs AB→\overrightarrow{AB} et AC→\overrightarrow{AC} sont colinéaires.
Soit (0;i→;j→)\left(0;\overrightarrow{i} ;\overrightarrow{j} \right) un repère du plan.
  • Deux vecteurs u→(x;y)\overrightarrow{u} \left(x;y\right) et v→(x′;y′)\overrightarrow{v} \left(x';y'\right) sont colinéaires si et seulement si det⁡(u→;v→)=0\det\left(\overrightarrow{u} ;\overrightarrow{v} \right)=0 autrement dit si : xy′−x′y=0xy'-x'y=0.
  • det⁡(u→;v→)=xy′−x′y\det\left(\overrightarrow{u} ;\overrightarrow{v} \right)=xy'-x'y est appelé deˊterminant\text{\color{red}déterminant}.
  • On peut également écrire les vecteurs u→\overrightarrow{u} et v→\overrightarrow{v} sous la forme u→(xy)\overrightarrow{u} \left(\begin{array}{c} {x} \\ {y} \end{array}\right) et v→(x′y′)\overrightarrow{v} \left(\begin{array}{c} {x'} \\ {y'} \end{array}\right).
On a : 1×(−4)−1×(−4)=−4+4=01\times \left(-4\right)-1\times\left(-4\right)=-4+4=0
Les vecteurs AB→\overrightarrow{AB} et AC→\overrightarrow{AC} sont colinéaires. Donc les points AA, BB et CC sont alignés.
Question 2
Soit MM le point tel que BM→=15BD→\overrightarrow{BM}=\frac{1}{5}\overrightarrow{BD}

Démontrer par le calcul que les coordonnées de MM sont (4;−1)\left(4;-1\right).

Correction
Notons M(x;y)M\left(x;y \right) les coordonnées du point recherché. Commençons par calculer les vecteurs BD→\overrightarrow{BD} et BM→\overrightarrow{BM}.
BD→(xD−xByD−yB)\overrightarrow{BD} \left(\begin{array}{c} {x_{D}-x_{B}} \\ {y_{D}-y_{B}} \end{array}\right) ainsi BD→(8−3−13−2)\overrightarrow{BD} \left(\begin{array}{c} {8-3} \\ {-13-2} \end{array}\right) d'où : BD→(5−15)\overrightarrow{BD} \left(\begin{array}{c} {5} \\ {-15} \end{array}\right)
BM→(xM−xByM−yB)\overrightarrow{BM} \left(\begin{array}{c} {x_{M}-x_{B}} \\ {y_{M}-y_{B}} \end{array}\right) ainsi BM→(x−3y−2)\overrightarrow{BM} \left(\begin{array}{c} {x-3} \\ {y-2} \end{array}\right) d'où : BM→(x−3y−2)\overrightarrow{BM} \left(\begin{array}{c} {x-3} \\ {y-2} \end{array}\right)
De plus : 15BD→(5×15−15×15)\frac{1}{5}\overrightarrow{BD} \left(\begin{array}{c} {5\times\frac{1}{5}} \\ {-15\times\frac{1}{5}} \end{array}\right) ainsi 15BD→(1−3)\frac{1}{5}\overrightarrow{BD} \left(\begin{array}{c} {1} \\ {-3} \end{array}\right).
Or nous savons que : BM→=15BD→\overrightarrow{BM}=\frac{1}{5}\overrightarrow{BD}.
Il vient alors que :
(x−3y−2)=(1−3)\left(\begin{array}{c} {x-3} \\ {y-2} \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} {1} \\ {-3} \end{array}\right)
On obtient alors deux équations à résoudre. Nous l'écrivons sous forme de système.
{x−3=1y−2=−3\left\{\begin{array}{ccccccc} {x-3} & {=} & {1} \\ {y-2} & {=} & {-3} \end{array}\right.
Ainsi :
{x=1+3y=−3+2\left\{\begin{array}{ccccccc} {x} & {=} & {1+3} \\ {y} & {=} & {-3+2} \end{array}\right.
{x=4y=−1\left\{\begin{array}{ccccccc} {x} & {=} & {4} \\ {y} & {=} & {-1} \end{array}\right.

Les coordonnées du point MM sont alors M(4;−1)M\left(4;-1\right)
Question 3

Calculer les coordonnées du point KK, milieu du segment [CM]\left[CM\right].

Correction
Soit (0;i→;j→)\left(0;\overrightarrow{i} ;\overrightarrow{j} \right) un repère du plan et deux points A(xA;yA)A\left(x_{A} ;y_{A} \right) et B(xB;yB)B\left(x_{B} ;y_{B} \right)
  • Les coordonnées du milieu I(xI;yI)I\left(x_{I} ;y_{I} \right) du segment [AB]\left[AB\right] sont : xI=xA+xB2x_{I} =\frac{x_{A} +x_{B} }{2} et yI=yA+yB2y_{I} =\frac{y_{A} +y_{B} }{2}
Il vient alors que :
D’une part :\text{\color{red}D'une part :}
xK=xC+xM2x_{K} =\frac{x_{C} +x_{M} }{2} équivaut successivement à :
xK=−2+42x_{K} =\frac{-2+4}{2}
xK=22x_{K} =\frac{2}{2}
xK=1x_{K} =1

D’autre part :\text{\color{red}D'autre part :}
yK=yC+yM2y_{K} =\frac{y_{C} +y_{M} }{2}
yK=−3−12y_{K} =\frac{-3-1}{2}
yK=−42y_{K} =\frac{-4}{2}
yK=−2y_{K} =-2

Les coordonnées du milieu KK du segment [CM]\left[CM\right] sont K(1;−2)K\left(1 ;-2\right)

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