Comment montrer que deux vecteurs sont colinéaires - Exercice 1

9 min
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Soient u→\overrightarrow{u} et v→\overrightarrow{v} deux vecteurs.
Pour chacun des cas, indiquez si les vecteurs sont colinéaires.
Question 1

u→(1;2)\overrightarrow{u} \left(1;2\right) et v→(−2;4)\overrightarrow{v} \left(-2;4\right)

Correction
Soit (O;i→;j→)\left(O;\overrightarrow{i} ;\overrightarrow{j} \right) un repère du plan.
  • Deux vecteurs u→(x;y)\overrightarrow{u} \left(x;y\right) et v→(x′;y′)\overrightarrow{v} \left(x';y'\right) sont colinéaires si et seulement si det⁡(u→;v→)=0\det\left(\overrightarrow{u} ;\overrightarrow{v} \right)=0 autrement dit si : xy′−x′y=0xy'-x'y=0.
  • det⁡(u→;v→)=xy′−x′y\det\left(\overrightarrow{u} ;\overrightarrow{v} \right)=xy'-x'y est appelé deˊterminant\text{\color{red}déterminant}.
  • On peut également écrire les vecteurs u→\overrightarrow{u} et v→\overrightarrow{v} sous la forme u→(xy)\overrightarrow{u} \left(\begin{array}{c} {x} \\ {y} \end{array}\right) et v→(x′y′)\overrightarrow{v} \left(\begin{array}{c} {x'} \\ {y'} \end{array}\right).
On a : 1×4−2×(−2)=4+4=8≠01\times 4-2\times \left(-2\right)=4+4=8\ne 0
Nous avons donc
det⁡(u→;v→)≠0\det\left(\overrightarrow{u} ;\overrightarrow{v} \right)\ne0

Les vecteurs u→\overrightarrow{u} et v→\overrightarrow{v} ne sont pas colinéaires.
Question 2

u→(3−6)\overrightarrow{u} \left(\begin{array}{c} {3} \\ {-6} \end{array}\right) et v→(−12)\overrightarrow{v} \left(\begin{array}{c} {-1} \\ {2} \end{array}\right)

Correction
Soit (O;i→;j→)\left(O;\overrightarrow{i} ;\overrightarrow{j} \right) un repère du plan.
  • Deux vecteurs u→(x;y)\overrightarrow{u} \left(x;y\right) et v→(x′;y′)\overrightarrow{v} \left(x';y'\right) sont colinéaires si et seulement si det⁡(u→;v→)=0\det\left(\overrightarrow{u} ;\overrightarrow{v} \right)=0 autrement dit si : xy′−x′y=0xy'-x'y=0.
  • det⁡(u→;v→)=xy′−x′y\det\left(\overrightarrow{u} ;\overrightarrow{v} \right)=xy'-x'y est appelé deˊterminant\text{\color{red}déterminant}.
  • On peut également écrire les vecteurs u→\overrightarrow{u} et v→\overrightarrow{v} sous la forme u→(xy)\overrightarrow{u} \left(\begin{array}{c} {x} \\ {y} \end{array}\right) et v→(x′y′)\overrightarrow{v} \left(\begin{array}{c} {x'} \\ {y'} \end{array}\right).
On a : 3×2−(−6)×(−1)=6−6=03\times 2-\left(-6\right)\times \left(-1\right)=6-6=0
Nous avons donc
det⁡(u→;v→)=0\det\left(\overrightarrow{u} ;\overrightarrow{v} \right)=0

Les vecteurs u→\overrightarrow{u} et v→\overrightarrow{v} sont colinéaires.
Question 3

u→(2;−3)\overrightarrow{u} \left(2;-3\right) et v→(−1;−1)\overrightarrow{v} \left(-1;-1\right)

Correction
Soit (O;i→;j→)\left(O;\overrightarrow{i} ;\overrightarrow{j} \right) un repère du plan.
  • Deux vecteurs u→(x;y)\overrightarrow{u} \left(x;y\right) et v→(x′;y′)\overrightarrow{v} \left(x';y'\right) sont colinéaires si et seulement si det⁡(u→;v→)=0\det\left(\overrightarrow{u} ;\overrightarrow{v} \right)=0 autrement dit si : xy′−x′y=0xy'-x'y=0.
  • det⁡(u→;v→)=xy′−x′y\det\left(\overrightarrow{u} ;\overrightarrow{v} \right)=xy'-x'y est appelé deˊterminant\text{\color{red}déterminant}.
  • On peut également écrire les vecteurs u→\overrightarrow{u} et v→\overrightarrow{v} sous la forme u→(xy)\overrightarrow{u} \left(\begin{array}{c} {x} \\ {y} \end{array}\right) et v→(x′y′)\overrightarrow{v} \left(\begin{array}{c} {x'} \\ {y'} \end{array}\right).
On a : 2×(−1)−(−1)×(−3)=−2−3=−5≠02\times \left(-1\right)-\left(-1\right)\times \left(-3\right)=-2-3=-5\ne 0
Nous avons donc
det⁡(u→;v→)≠0\det\left(\overrightarrow{u} ;\overrightarrow{v} \right)\ne0

Les vecteurs u→\overrightarrow{u} et v→\overrightarrow{v} ne sont pas colinéaires.

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