Calculs d'intégrales - Exercice 1

Soit $$f$$ la fonction définie sur $$\mathbb{R}$$ par $$f\left(x\right)=2x+1$$.
La fonction $$f$$ admet donc des primitives sur $$\mathbb{R}$$. Une primitive de $$f$$ sur $$\mathbb{R}$$ est la fonction $$F$$ définie sur $$\mathbb{R}$$ par $$F\left(x\right)=x^{2} +x$$ .
Donc : $$I=\left[x^{2} +x\right]_{0}^{1}$$
Il vient alors que :
$$I=\left[x^{2} +x\right]_{0}^{1}$$ équivaut successivement à
$$I=\left(1^{2} +1\right)-\left(0^{2} +0\right)$$
$$I=2$$
Finalement :

La fonction $$f$$ définie sur $$\mathbb{R}$$ par $$f\left(x\right)=x^{2} -x$$ . Une primitive de $$f$$ sur $$\mathbb{R}$$ est la fonction $$F$$ définie sur $$\mathbb{R}$$ par $$F\left(x\right)=\frac{1}{3} x^{3} -\frac{1}{2} x^{2}$$ .
Donc : $$I=\left[\frac{1}{3} x^{3} -\frac{1}{2} x^{2} \right]_{-1}^{1}$$
Il vient alors que :
$$I=\left[\frac{1}{3} x^{3} -\frac{1}{2} x^{2} \right]_{-1}^{1}$$
$$I=\left(\frac{1}{3} \times \left(1\right)^{3} -\frac{1}{2} \times \left(1\right)^{2} \right)-\left(\frac{1}{3} \times \left(-1\right)^{3} -\frac{1}{2} \times \left(-1\right)^{2} \right)$$
$$I=\frac{2}{3}$$
Finalement :

Soit : $$f\left(x\right)=x^{2} +3x+1$$
Alors : $$F\left(x\right)=\frac{1}{3} x^{3} +\frac{3}{2} x^{2} +x$$
Donc : $$I=\left[\frac{1}{3} x^{3} +\frac{3}{2} x^{2} +x\right]_{-2}^{1}$$
Il vient alors que :
$$I=\left[\frac{1}{3} x^{3} +\frac{3}{2} x^{2} +x\right]_{-2}^{1}$$ équivaut successivement à
$$I=\left(\frac{1}{3} \times \left(1\right)^{3} +\frac{3}{2} \times \left(1\right)^{2} +1\right)-\left(\frac{1}{3} \times \left(-2\right)^{3} +\frac{3}{2} \times \left(-2\right)^{2} -2\right)$$
$$I=\frac{3}{2}$$
Finalement :

$$I=\int _{0}^{1}\left(\frac{t^{3} +2t^{2} +t-1}{3} \right)dt$$ équivaut à :
$$I=\int _{0}^{1}\left(\frac{1}{3} t^{3} +\frac{2}{3} t^{2} +\frac{1}{3} t-\frac{1}{3} \right) dt$$
Soit : $$f\left(t\right)=\frac{1}{3} t^{3} +\frac{2}{3} t^{2} +\frac{1}{3} t-\frac{1}{3}$$
Alors : $$F\left(t\right)=\frac{1}{12} t^{4} +\frac{2}{9} t^{3} +\frac{1}{6} t^{2} -\frac{1}{3} t$$
Donc : $$I=\left[\frac{1}{12} t^{4} +\frac{2}{9} t^{3} +\frac{1}{6} t^{2} -\frac{1}{3} t\right]_{0}^{1}$$
Il vient alors que :
$$I=\left[\frac{1}{12} t^{4} +\frac{2}{9} t^{3} +\frac{1}{6} t^{2} -\frac{1}{3} t\right]_{0}^{1}$$ équivaut successivement à :
$$I=\frac{1}{12} \times 1^{4} +\frac{2}{9} \times 1^{3} +\frac{1}{6} \times 1^{2} -\frac{1}{3} \times 1-\left(\frac{1}{12} \times 0^{4} +\frac{2}{9} \times 0^{3} +\frac{1}{6} \times 0^{2} -\frac{1}{3} \times 0\right)$$
$$I=\frac{1}{12} +\frac{2}{9} +\frac{1}{6} -\frac{1}{3} -0$$
$$I=\frac{5}{36}$$
Finalement :

Soit : $$f\left(t\right)=3t+4$$
Alors : $$F\left(t\right)=\frac{3}{2} t^{2} +4t$$
Donc : $$I=\left[\frac{3}{2} t^{2} +4t\right]_{-1}^{1}$$
Il vient alors que :
$$I=\left[\frac{3}{2} t^{2} +4t\right]_{-1}^{1}$$ équivaut successivement à
$$I=\left(\frac{3}{2} +4\right)-\left(\frac{3}{2} \times \left(-1\right)^{2} +4\times \left(-1\right)\right)$$
$$I=8$$
Finalement :

Soit : $$f\left(x\right)=2\cos \left(x\right)-5\sin \left(x\right)$$
Alors : $$F\left(x\right)=2\sin \left(x\right)+5\cos \left(x\right)$$
Donc : $$I=\left[2\sin \left(x\right)+5\cos \left(x\right)\right]_{0}^{\frac{\pi }{2} }$$
Il vient alors que :
$$I=\left[2\sin \left(x\right)+5\cos \left(x\right)\right]_{0}^{\frac{\pi }{2} }$$ équivaut successivement à
$$I=\left(2\sin \left(\frac{\pi }{2} \right)+5\cos \left(\frac{\pi }{2} \right)\right)-\left(2\sin \left(0\right)+5\cos \left(0\right)\right)$$
$$I=-3$$
Finalement :

Soit : $$f\left(x\right)=\left(2x+2\right)\left(x-1\right)$$, on développe $$f$$, on obtient $$f\left(x\right)=2x^{2} -2$$
Alors : $$F\left(x\right)=\frac{2}{3} x^{3} -2x$$
Donc : $$I=\left[\frac{2}{3} x^{3} -2x\right]_{0}^{2}$$
Il vient alors que :
$$I=\left[\frac{2}{3} x^{3} -2x\right]_{0}^{2}$$ équivaut successivement à
$$I=\left(\frac{2}{3} \times \left(2\right)^{3} -2\times 2\right)-\left(0\right)$$
$$I=\frac{4}{3}$$
Finalement

$$I=\int _{0}^{1} dx$$ s'écrit également $$I=\int _{0}^{1}1 \; dx$$
Soit : $$f\left(x\right)=1$$
Alors : $$F\left(x\right)=x$$
Donc : $$I=\left[x\right]_{0}^{1}$$
Il vient alors que :
$$I=\left[x\right]_{0}^{1}$$ équivaut successivement à
$$I=\left(1\right)-\left(0\right)$$
$$I=1$$
Finalement :

Soit : $$f\left(x\right)=\left(-\frac{1}{x} +\frac{2}{x^{2} }\right)$$
Alors : $$F\left(x\right)=-\ln \left(x\right)-\frac{2}{x}$$
Donc : $$I=\left[-\ln \left(x\right)-\frac{2}{x} \right]_{1}^{2}$$
Il vient alors que :
$$I=\left[-\ln \left(x\right)-\frac{2}{x} \right]_{1}^{2}$$ équivaut succesivement à
$$I=\left(-\ln \left(2\right)-\frac{2}{2} \right)-\left(-\ln \left(1\right)-\frac{2}{1} \right)$$
$$I=-\ln \left(2\right)-1+2$$
$$I=-\ln \left(2\right)+1$$
Finalement :

Soit : $$f\left(t\right)=\frac{2t^{2} -t+5}{t}$$, on simplifie l'écriture de $$f$$ qui devient $$f\left(t\right)=2t-1+\frac{5}{t}$$
Alors : $$F\left(t\right)=t^{2} -t+5\ln \left(t\right)$$
Donc : $$I=\left[t^{2} -t+5\ln \left(t\right)\right]_{1}^{2}$$
Il vient alors que :
$$I=\left[t^{2} -t+5\ln \left(t\right)\right]_{1}^{2}$$ équivaut successivement à
$$I=\left(2^{2} -2+5\ln \left(2\right)\right)-\left(1-1+5\ln \left(1\right)\right)$$
$$I=5\ln \left(2\right)+2$$
Finalement :

Soit : $$f\left(t\right)=2e^{t} +t$$
Alors : $$F\left(t\right)=2e^{t} +\frac{1}{2} t^{2}$$
Donc : $$I=\left[2e^{t} +\frac{1}{2} t^{2} \right]_{0}^{1}$$
Il vient alors que :
$$I=\left[2e^{t} +\frac{1}{2} t^{2} \right]_{0}^{1}$$ équivaut successivement à
$$I=\left(2e^{1} +\frac{1}{2} \right)-\left(2e^{0} +\frac{1}{2} \times 0\right)$$
$$I=2e^{1} -\frac{3}{2}$$
Finalement :

$$I=\int _{1}^{2}f\left(x\right) dx$$ équivaut successivement à :
$$I=\left[-\frac{x^{2}}{2}\ln x+\frac{5}{4}x^{2}+x-7 \right]_{1}^{2}$$
$$I=\left(-\frac{2^{2} }{2} \ln \left(2\right)+\frac{5}{4} \times 2^{2} +2-7\right)-\left(-\frac{1^{2} }{2} \ln \left(1\right)+\frac{5}{4} \times 1^{2} +1-7\right)$$
$$I=\left(-2\ln \left(2\right)+5+2-7\right)-\left(\frac{5}{4} +1-7\right)$$
$$I=\left(-2\ln \left(2\right)\right)-\left(-\frac{19}{4} \right)$$
Finalement :