Calculs d'intégrales en utilisant les formes composées - Exercice 1

25 min
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Calculer les intégrales suivantes
Question 1

I=∫01(2x+1)dxI=\int _{0}^{1}\left(\frac{2}{x+1} \right)dx

Correction
Soit : f(x)=2x+1f\left(x\right)=\frac{2}{x+1} .
On reconnaît la forme u′u\frac{u'}{u} .
I=∫01(2x+1)dxI=\int _{0}^{1}\left(\frac{2}{x+1} \right)dx équivaut successivement à
I=[2ln⁡(x+1)]01I=\left[2\ln \left(x+1\right)\right]_{0}^{1}
I=(2ln⁡(1+1))−(2ln⁡(0+1))I=\left(2\ln \left(1+1\right)\right)-\left(2\ln \left(0+1\right)\right)
I=2ln⁡(2)I=2\ln \left(2\right)
Finalement :
∫01(2x+1)dx=2ln⁡(2)\int _{0}^{1}\left(\frac{2}{x+1} \right)dx=2\ln \left(2\right)
Question 2

I=∫−11(3xx2+2)dxI=\int _{-1}^{1}\left(\frac{3x}{x^{2} +2} \right)dx

Correction
Soit : f(x)=3xx2+2f\left(x\right)=\frac{3x}{x^{2} +2}
On reconnaît la forme u′u\frac{u'}{u}

I=∫−11(3xx2+2)dxI=\int _{-1}^{1}\left(\frac{3x}{x^{2} +2} \right)dx équivaut successivement à.
I=[32ln⁡(x2+2)]−11I=\left[\frac{3}{2} \ln \left(x^{2} +2\right)\right]_{-1}^{1}
I=(32ln⁡(1+2))−(32ln⁡((−1)2+2))I=\left(\frac{3}{2} \ln \left(1+2\right)\right)-\left(\frac{3}{2} \ln \left(\left(-1\right)^{2} +2\right)\right)
I=32ln⁡(3)−32ln⁡(3)I=\frac{3}{2} \ln \left(3\right)-\frac{3}{2} \ln \left(3\right)
I=0I=0
Finalement :
∫−11(3xx2+2)dx=0\int _{-1}^{1}\left(\frac{3x}{x^{2} +2} \right)dx=0
Question 3

I=∫−11(5(2t+3)2)dtI=\int _{-1}^{1}\left(\frac{5}{\left(2t+3\right)^{2} } \right)dt

Correction
Soit : f(t)=5(2t+3)2f\left(t\right)=\frac{5}{\left(2t+3\right)^{2} }
On reconnait la forme u′u2\frac{u'}{u^{2} }

I=∫−11(5(2t+3)2)dtI=\int _{-1}^{1}\left(\frac{5}{\left(2t+3\right)^{2} } \right)dt équivaut succesivement à
I=[−52(2t+3)]−11I=\left[\frac{-5}{2\left(2t+3\right)} \right]_{-1}^{1}
I=(−52(2+3))−(−52(2×(−1)+3))I=\left(\frac{-5}{2\left(2+3\right)} \right)-\left(\frac{-5}{2\left(2\times \left(-1\right)+3\right)} \right)
I=2I=2
Finalement :
∫−11(5(2t+3)2)dt=2\int _{-1}^{1}\left(\frac{5}{\left(2t+3\right)^{2} } \right)dt=2
Question 4

I=∫−12(2e3t+1)dtI=\int _{-1}^{2}\left(2e^{3t+1} \right)dt

Correction
Soit : f(t)=2e3t+1f\left(t\right)=2e^{3t+1}
On reconnaît la forme u′euu'e^{u}

I=∫−12(2e3t+1)dtI=\int _{-1}^{2}\left(2e^{3t+1} \right)dt équivaut successivement à
I=[23e3t+1]−12I=\left[\frac{2}{3} e^{3t+1} \right]_{-1}^{2}
I=(23e3×2+1)−(23e3×(−1)+1)I=\left(\frac{2}{3} e^{3\times 2+1} \right)-\left(\frac{2}{3} e^{3\times \left(-1\right)+1} \right)
I=23(e7−e−2)I=\frac{2}{3} \left(e^{7} -e^{-2} \right)
Finalement :
∫−12(2e3t+1)dt=23(e7−e−2)\int _{-1}^{2}\left(2e^{3t+1} \right)dt=\frac{2}{3} \left(e^{7} -e^{-2} \right)
Question 5

I=∫0π2(2cos⁡(2x−π))dxI=\int _{0}^{\frac{\pi }{2} }\left(2\cos \left(2x-\pi \right)\right)dx

Correction
  • Une primitive de cos⁡(ax+b)\cos \left(ax+b\right) est 1asin⁡(ax+b)\frac{1}{a} \sin \left(ax+b\right)
    • Soit : f(x)=2cos⁡(2x−π)f\left(x\right)=2\cos \left(2x-\pi \right) c'est à dire
    On a : F(x)=2×12sin⁡(2x−π)F\left(x\right)=2\times \frac{1}{2}\sin \left(2x-\pi \right) c'est à dire F(x)=sin⁡(2x−π)F\left(x\right)=\sin \left(2x-\pi \right)
    I=∫0π2(2cos⁡(2x−π))dxI=\int _{0}^{\frac{\pi }{2} }\left(2\cos \left(2x-\pi \right)\right)dx équivaut successivement à
    I=[sin⁡(2x−π)]0π2I=\left[\sin \left(2x-\pi \right)\right]_{0}^{\frac{\pi }{2} }
    I=(sin⁡(2×(π2)−π))−(sin⁡(2×0−π))I=\left(\sin \left(2\times \left(\frac{\pi }{2} \right)-\pi \right)\right)-\left(\sin \left(2\times 0-\pi \right)\right)
    I=0I=0
    Finalement :
    ∫0π2(2cos⁡(2x−π))dx=0\int _{0}^{\frac{\pi }{2} }\left(2\cos \left(2x-\pi \right)\right)dx=0
    Question 6

    I=∫0π6(3sin⁡(3t−π2))dtI=\int _{0}^{\frac{\pi }{6} }\left(3\sin \left(3t-\frac{\pi }{2} \right)\right)dt

    Correction
  • Une primitive de sin⁡(ax+b)\sin \left(ax+b\right) est −1acos⁡(ax+b)-\frac{1}{a} \cos \left(ax+b\right)
    • Soit : f(x)=3sin⁡(3t−π2)f\left(x\right)=3\sin \left(3t-\frac{\pi }{2} \right)
    On a : F(x)=−cos⁡(3t−π2)F\left(x\right)=-\cos \left(3t-\frac{\pi }{2} \right)
    I=∫0π6(3sin⁡(3t−π2))dtI=\int _{0}^{\frac{\pi }{6} }\left(3\sin \left(3t-\frac{\pi }{2} \right)\right) dt équivaut successivement à
    I=[−cos⁡(3t−π2)]0π6I=\left[-\cos \left(3t-\frac{\pi }{2} \right)\right]_{0}^{\frac{\pi }{6} }
    I=(−cos⁡(3×(π6)−π2))−(−cos⁡(3×0−π2))I=\left(-\cos \left(3\times \left(\frac{\pi }{6} \right)-\frac{\pi }{2} \right)\right)-\left(-\cos \left(3\times 0-\frac{\pi }{2} \right)\right)
    Finalement :
    ∫0π6(3sin⁡(3t−π2))dt=−1\int _{0}^{\frac{\pi }{6} }\left(3\sin \left(3t-\frac{\pi }{2} \right)\right)dt=-1
    Question 7

    I=∫01(xex2)dxI=\int _{0}^{1}\left(xe^{x^{2} } \right)dx

    Correction
    Soit : f(x)=xex2f\left(x\right)=xe^{x^{2} }
    On reconnait la forme u′euu'e^{u}
    I=∫01(xex2)dxI=\int _{0}^{1}\left(xe^{x^{2} } \right)dx équivaut successivement à
    I=[12ex2]01I=\left[\frac{1}{2} e^{x^{2} } \right]_{0}^{1}
    I=(12e1)−(12e0)I=\left(\frac{1}{2} e^{1} \right)-\left(\frac{1}{2} e^{0} \right)
    I=−12+12eI=-\frac{1}{2} +\frac{1}{2} e
    Finalement :
    ∫01(xex2)dx=−12+12e\int _{0}^{1}\left(xe^{x^{2} } \right) dx=-\frac{1}{2} +\frac{1}{2} e
    Question 8

    I=∫01(2t+1)dtI=\int _{0}^{1}\left(\frac{2}{\sqrt{t+1} } \right) dt

    Correction
    Soit : f(t)=2t+1f\left(t\right)=\frac{2}{\sqrt{t+1} }
    On reconnait la forme u′u\frac{u'}{\sqrt{u} }

    I=∫01(2t+1)dtI=\int _{0}^{1}\left(\frac{2}{\sqrt{t+1} } \right) dt équivaut successivement à
    I=[4t+1]01I=\left[4\sqrt{t+1} \right]_{0}^{1}
    I=(41+1)−(40+1)I=\left(4\sqrt{1+1} \right)-\left(4\sqrt{0+1} \right)
    I=42−4I=4\sqrt{2} -4
    Finalement :
    ∫01(2t+1)dt=42−4\int _{0}^{1}\left(\frac{2}{\sqrt{t+1} } \right) dt=4\sqrt{2} -4

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