Calculs d'intégrales - Exercice 2

On reconnait la forme $$\left(uv\right)'=u'v+uv'$$ avec $$u\left(x\right)=e^{-x}$$ et $$v\left(x\right)=x+3$$.
On note $$w\left(x\right)=6x-1$$
Ainsi $$u'\left(x\right)=-e^{-x}$$ et $$v'\left(x\right)=1$$, enfin $$w'\left(x\right)=6$$
Il vient alors que :
$$g'\left(x\right)=-e^{-x} \left(x+3\right)+e^{-x} +6$$ équivaut successivement à :
$$g'\left(x\right)=e^{-x} \left(-x-3+1\right)+6$$ . Nous avons ici factorisé par $$e^{-x}$$ .
$$g'\left(x\right)=e^{-x} \left(-x-2\right)+6$$
On remarque que :
Cela signifie qu'une primitive de $$f$$ est la fonction $$g$$

$$I=\int _{0}^{1}\left(f\left(x\right)\right) dx$$ équivaut successivement à
$$I=\left[e^{-x} \left(x+3\right)+6x-1\right]_{0}^{1}$$
$$I=\left(e^{-1} \left(1+3\right)+6-1\right)-\left(e^{0} \left(0+3\right)+6\times 0-1\right)$$
$$I=\left(4e^{-1} +5\right)-\left(3-1\right)$$
$$I=4e^{-1} +3$$
Finalement :