Calculs d'intégrales - Exercice 5

10 min
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Question 1

Calculer : ∫−122∣x∣dx\int_{-1}^2 2|x| d x

Correction
Nous allons utiliser la propriété de Chasles en faisant la somme de l'intégrale sur [−1,0][-1,0], puis sur [0,2][0,2], intervalles où s'exprime facilement ∣x∣|x|.
  • Soit ff une fonction continue sur un intervalle II et a,ba, b et cc trois réels appartenant à II.
    ∫acf(x)dx=∫abf(x)dx+∫bcf(x)dx\displaystyle\int_a^c f(x) d x=\displaystyle\int_a^b f(x) d x+\displaystyle\int_b^c f(x) d x
    • ∫−122∣x∣dx=∫−102∣x∣dx+∫022∣x∣dx\int_{-1}^2 2|x| d x=\int_{-1}^0 2|x| d x+\int_0^2 2|x| d x
    Nous allons ensuite écrire les expressions sans la valeur absolue.
    Soit un nombre réel xx.
    • On appelle valeur absolue {\color{red}\text{valeur absolue }} de xx, et on note ∣x∣\left|x\right|, le nombre réel égal à : {xsix≥0−xsix<0\left\{\begin{array}{ccc} {x} & {\text{si}} & {x\ge 0} \\ {-x} & {\text{si}} & {x<0} \end{array}\right. .
    ∫−122∣x∣dx=∫−102×(−x)dx+∫022×xdx\int_{-1}^2 2|x| d x=\int_{-1}^0 2\times \left(-x\right) d x+\int_0^2 2\times x d x
    ∫−122∣x∣dx=∫−10−2xdx+∫022xdx\int_{-1}^2 2|x| d x=\int_{-1}^0 -2x d x+\int_0^2 2xd x
    ∫−122∣x∣dx=[−x2]−10+[x2]02\int_{-1}^2 2|x| d x=\left[-x^2\right]_{-1}^0+\left[x^2\right]_0^2
    ∫−122∣x∣dx=−02−(−(−1)2)+22−02\int_{-1}^2 2|x| d x=-0^2-\left(-\left(-1\right)^2\right)+2^2-0^2
    ∫−122∣x∣dx=0+1+4−0\int_{-1}^2 2|x| d x=0+1+4-0
    Ainsi :
    ∫−122∣x∣dx=5\int_{-1}^2 2|x| d x=5
    Question 2

    ∫−314∣x∣dx\int_{-3}^1 4|x| d x

    Correction
    Nous allons utiliser la propriété de Chasles en faisant la somme de l'intégrale sur [−3,0][-3,0], puis sur [0,1][0,1], intervalles où s'exprime facilement ∣x∣|x|.
  • Soit ff une fonction continue sur un intervalle II et a,ba, b et cc trois réels appartenant à II.
    ∫acf(x)dx=∫abf(x)dx+∫bcf(x)dx\displaystyle\int_a^c f(x) d x=\displaystyle\int_a^b f(x) d x+\displaystyle\int_b^c f(x) d x
    • ∫−314∣x∣dx=∫−304∣x∣dx+∫014∣x∣dx\int_{-3}^1 4|x| d x=\int_{-3}^0 4|x| d x+\int_0^1 4|x| d x
    Nous allons ensuite écrire les expressions sans la valeur absolue.
    Soit un nombre réel xx.
    • On appelle valeur absolue {\color{red}\text{valeur absolue }} de xx, et on note ∣x∣\left|x\right|, le nombre réel égal à : {xsix≥0−xsix<0\left\{\begin{array}{ccc} {x} & {\text{si}} & {x\ge 0} \\ {-x} & {\text{si}} & {x<0} \end{array}\right. .
    ∫−314∣x∣dx=∫−304×(−x)dx+∫014×xdx\int_{-3}^1 4|x| d x=\int_{-3}^0 4\times \left(-x\right) d x+\int_0^1 4\times x d x
    ∫−314∣x∣dx=∫−30−4xdx+∫014xdx\int_{-3}^1 4|x| d x=\int_{-3}^0 -4x d x+\int_0^1 4xd x
    ∫−314∣x∣dx=[−2x2]−30+[2x2]01\int_{-3}^1 4|x| d x=\left[-2x^2\right]_{-3}^0+\left[2x^2\right]_0^1
    ∫−314∣x∣dx=−2×02−(−2×(−3)2)+2×12−0\int_{-3}^1 4|x| d x=-2\times 0^2-\left(-2\times \left(-3\right)^2\right)+2\times 1^2-0
    ∫−314∣x∣dx=0+18+2\int_{-3}^1 4|x| d x=0+18+2
    Ainsi :
    ∫−314∣x∣dx=20\int_{-3}^1 4|x| d x=20

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