Exercices types : 11ère partie - Exercice 1

20 min
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Soit nn un entier naturel. On considère l'intégrale I0=∫01e1−xdxI_{0}=\int _{0}^{1}e^{1-x}dx et pour tout n≥1n\ge1, on a : In=∫01xne1−xdxI_{n}=\int _{0}^{1}x^{n}e^{1-x}dx
Question 1

Calculer I0=∫01e1−xdxI_{0}=\int _{0}^{1}e^{1-x}dx.

Correction
∫eax+bdx=1aeax+b\int e^{ax+b}dx=\frac{1}{a}e^{ax+b}
I0=[1−1e1−x]01I_{0} =\left[\frac{1}{-1} e^{1-x} \right]_{0}^{1}
I0=[−e1−x]01I_{0} =\left[-e^{1-x} \right]_{0}^{1}
I0=−e1−1−(−e1−0)I_{0} =-e^{1-1} -\left(-e^{1-0} \right)
I0=−e0+eI_{0} =-e^{0} +e
Ainsi :
I0=−1+eI_{0} =-1+e

Question 2

On admet que : In+1=(n+1)In−1I_{n+1} =\left(n+1\right)I_{n} -1. Calculer alors I1I_{1} et I2I_{2}.

Correction
On admet que : In+1=(n+1)In−1I_{n+1} =\left(n+1\right)I_{n} -1.
 D’une part :\red{\text{ D'une part :}}
I0+1=(0+1)I0−1I_{0+1} =\left(0+1\right)I_{0} -1
I1=I0−1I_{1} =I_{0} -1 . Or d'après la question précédente I0=−1+eI_{0} =-1+e . Ce qui nous donne :
I1=−1+e−1I_{1} =-1+e-1
I1=−2+eI_{1} =-2+e

D'autre part :
I1+1=(1+1)I1−1I_{1+1} =\left(1+1\right)I_{1} -1
I2=2I1−1I_{2} =2I_{1} -1
I2=2(−2+e)−1I_{2} =2\left(-2+e\right)-1
I2=−4+2e−1I_{2} =-4+2e-1
I2=−5+2eI_{2} =-5+2e

Question 3

Démontrer que pour tout réel xx de [0;1]\left[0;1\right] et pour tout entier naturel nn non nul, on a : xn≤xne1−x≤xnex^{n} \le x^{n} e^{1-x} \le x^{n} e.

Correction
Nous savons que x∈[0;1]x\in\left[0;1\right].
0≤x≤10\le x\le 1 équivaut successivement à :
−1≤−x≤0-1\le -x\le 0
0≤1−x≤10\le 1-x\le 1
e0≤e1−x≤e1e^{0} \le e^{1-x} \le e^{1} car la fonction x↦exx\mapsto e^{x} est croissante sur [0;1]\left[0;1\right]
1≤e1−x≤e1\le e^{1-x} \le e
xn≤xne1−x≤xnex^{n} \le x^{n} e^{1-x} \le x^{n} e

Question 4

En déduire un encadrement de InI_{n}, puis la limite de InI_{n}.

Correction
Positivité de l'intégrale. Soient ff, gg et hh trois fonctions continues sur un intervalle [a;b]\left[a;b\right]
  • Si f(x)≥g(x)f\left(x\right)\ge g\left(x\right) alors ∫abf(x)dx≥∫abg(x)dx\int _{a}^{b}f\left(x\right) dx\ge \int _{a}^{b}g\left(x\right) dx
  • Si f(x)≤g(x)f\left(x\right)\le g\left(x\right) alors ∫abf(x)dx≤∫abg(x)dx\int _{a}^{b}f\left(x\right) dx\le \int _{a}^{b}g\left(x\right) dx
  • Si h(x)≤f(x)≤g(x)h\left(x\right)\le f\left(x\right)\le g\left(x\right) alors ∫abh(x)dx≤∫abf(x)dx≤∫abg(x)dx\int _{a}^{b}h\left(x\right) dx \le\int _{a}^{b}f\left(x\right) dx\le \int _{a}^{b}g\left(x\right) dx
  • Si h(x)≥f(x)≥g(x)h\left(x\right)\ge f\left(x\right)\ge g\left(x\right) alors ∫abh(x)dx≥∫abf(x)dx≥∫abg(x)dx\int _{a}^{b}h\left(x\right) dx \ge\int _{a}^{b}f\left(x\right) dx\ge \int _{a}^{b}g\left(x\right) dx
    • Soit x∈[0;1]x\in \left[0;1\right], nous savons que : xn≤xne1−x≤xnex^{n} \le x^{n} e^{1-x} \le x^{n} e
    Il vient alors que :

    ∫01xndx≤∫01xne1−xdx≤∫01xnedx\int _{0}^{1}x^{n}dx \le \int _{0}^{1}x^{n} e^{1-x}dx \le \int _{0}^{1}x^{n} e dx
     Calculons d’une part :\red{\text{ Calculons d'une part :}} ∫01xndx=[1n+1xn+1]01=1n+1\int _{0}^{1}x^{n}dx=\left[\frac{1}{n+1}x^{n+1}\right]_{0}^{1} =\frac{1}{n+1}
     Calculons d’autre part :\red{\text{ Calculons d'autre part :}} ∫01xnedx=[en+1xn+1]01=en+1\int _{0}^{1}x^{n}edx=\left[\frac{e}{n+1}x^{n+1}\right]_{0}^{1} =\frac{e}{n+1}
    Finalement :
    1n+1≤∫01xne1−xdx≤en+1\frac{1}{n+1} \le \int _{0}^{1}x^{n} e^{1-x}dx \le \frac{e}{n+1}
  • D'une part : lim⁡n→+∞1n+1=0\lim\limits_{n\to +\infty } \frac{1}{n+1} =0
  • D'autre part : lim⁡n→+∞en+1=0\lim\limits_{n\to +\infty } \frac{e}{n+1} =0
    • D'après le théorème des gendarmes
    lim⁡n→+∞In=0\lim\limits_{n\to +\infty } I_{n} =0

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