Exercices types : $$1$$^ère partie - Exercice 2

Soit $$n$$ un entier naturel.
Soit $$t\in\left[0;1\right]$$, il en résulte donc que $$\cos \left(t\right)\ge0$$ et $$t^{n}\ge0$$. Il vient alors que , pour tout $$t\in\left[0;1\right]$$, on a : $$t^{n} \cos \left(t\right)\ge0$$.
D'après le rappel, nous pouvons écrire que :
$$\int _{0}^{1}t^{n} \cos \left(t\right)dt\ge0$$ autrement dit : $$u_{n}\ge0$$.
Pour tout entier naturel $$n$$, la suite $$\left(u_{n}\right)$$ est minorée par $$0$$.

Comme $$u_{n} =\int _{0}^{1}t^{n} \cos \left(t\right)dt$$ alors $$u_{n+1} =\int _{0}^{1}t^{n+1} \cos \left(t\right)dt$$.
Ainsi :
$$u_{n+1} -u_{n} =\int _{0}^{1}t^{n+1} \cos \left(t\right)dt -\int _{0}^{1}t^{n} \cos \left(t\right)dt$$
$$u_{n+1} -u_{n} =\int _{0}^{1}\left(t^{n+1} \cos \left(t\right)-t^{n} \cos \left(t\right)\right)dt$$
$$u_{n+1} -u_{n} =\int _{0}^{1}\left(t\times t^{n} \cos \left(t\right)-t^{n} \cos \left(t\right)\right)dt$$ car : $$t^{n+1}=t\times t^{n}$$
$$u_{n+1} -u_{n} =\int _{0}^{1}\left(t^{n} \cos \left(t\right)\times \left(t-1\right)\right)dt$$. Nous avons ici factorisé par $$t^{n} \cos \left(t\right)$$ .
Il nous faut donc maintenant étudier le signe de : $$t^{n} \cos \left(t\right)\times \left(t-1\right)$$.
Soit $$t\in\left[0;1\right]$$, il en résulte donc que $$\cos \left(t\right)\ge0$$ et $$t^{n}\ge0$$.
De plus : $$0\le t\le 1$$ et donc $$-1\le t-1\le 0$$ . Ainsi $$t-1\le 0$$ .
On peut conclure que : $$t^{n} \cos \left(t\right)\times \left(t-1\right)\le0$$ lorsque $$t\in\left[0;1\right]$$.
D'après la positivité de l'intégrale, on a alors : $$\int _{0}^{1}\left(t^{n} \cos \left(t\right)\times \left(t-1\right)\right)dt\le0$$.
Finalement : $$u_{n+1} -u_{n}\le0$$.
La suite $$\left(u_{n}\right)$$ est donc décroissante.

La suite $$\left(u_{n}\right)$$ est minorée par $$0$$ et décroissante donc la suite $$\left(u_{n}\right)$$ est convergente.