Positivité de l'intégrale et suites - Exercice 6

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Question 1
Pour tout entier naturel nn non nul, on pose In=∫01(2−2t)e−ntdtI_{n} =\int _{0}^{1}\left(2-2t\right)e^{-nt} dt

Montrer que In≥0I_{n} \ge 0

Correction
Positivité de l'intégrale.
Soit ff une fonction continue sur un intervalle [a;b]\left[a;b\right].
  • Si f(x)≥0f\left(x\right)\ge 0 sur [a;b]\left[a;b\right] alors ∫abf(x)dx≥0\int _{a}^{b}f\left(x\right) dx\ge 0
Soit t∈[0;1]t\in \left[0;1\right] , on a :
0≤t≤1⇔0≥−2t≥−2⇔−2≤−2t≤0⇔0≤−2t+2≤20\le t\le 1\Leftrightarrow 0\ge -2t\ge -2\Leftrightarrow -2\le -2t\le 0\Leftrightarrow 0\le -2t+2\le 2
Ainsi : −2t+2≥0-2t+2\ge 0 . Or, pour tout t∈[0;1]t\in \left[0;1\right] , on vérifie aisément que e−nt>0e^{-nt}>0.
Donc, pour tout t∈[0;1]t\in \left[0;1\right], (2−2t)e−nt≥0\left(2-2t\right)e^{-nt} \ge 0
On peut conclure que : ∫01(gn(x))dx≥0\int _{0}^{1}\left(g_{n} \left(x\right)\right)dx \ge 0 .
Finalement :
In≥0I_{n} \ge 0

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