Epreuve d'enseignement de spécialité Centres étrangers 6 juin 2024 . Exercice 4. Dérivation & suites - Exercice 1

Dans les hypothèses, on admet que cette fonction est dérivable sur l'intervalle $$[0 ;+\infty[$$.On reconnaît ici $$\sqrt{u}$$ où $$u\left(x\right)=x+1$$. Ainsi $$u'\left(x\right)=1$$.
Il en résulte que :
Soit $$x\in[0 ;+\infty[$$, la fonction $$x\mapsto \sqrt{x+1}$$ est alors à valeurs strictement positives.
Le numérateur étant également strictement positif, il en résulte donc que pour tout réel $$x\in[0 ;+\infty[$$ , on a : $$f'\left(x\right)\ge 0$$.
La fonction $$f$$ est croissante sur l'intervalle $$[0 ;+\infty[$$.

Soit $$x\in[0 ;+\infty[$$.
$$f(x)-x=\sqrt{x+1}-x$$ . Nous allons multiplier le numérateur et le dénominateur par le conjugué du dénominateur.
$$f(x)-x=\frac{(\sqrt{x+1}-x) \times(\sqrt{x+1}+x)}{\sqrt{x+1}+x}$$ . On reconnait l'identité remarquable $$\left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^2-b^2$$
$$f(x)-x=\frac{(\sqrt{x+1})^2-x^2}{\sqrt{x+1}+x}$$
$$f(x)-x=\frac{x+1-x^2}{\sqrt{x+1}+x}$$
Ainsi :

Soit $$x\in[0 ;+\infty[$$.
$$f(x)=x$$ équivaut successivement à :
$$f(x)-x=0$$
D'après la question $$2$$, nous avons démontré que $$f(x)-x=\frac{-x^2+x+1}{\sqrt{x+1}+x}$$
Ainsi :
$$\frac{-x^2+x+1}{\sqrt{x+1}+x}=0$$
Nous savons que $$x\in[0 ;+\infty[$$ et de ce fait le dénominateur $$\sqrt{x+1}+x$$ est strictement positif.
$$\frac{-x^2+x+1}{\sqrt{x+1}+x}=0$$
$$-x^2+x+1=0$$ et $$\sqrt{x+1}+x\ne 0$$
Il nous fait résoudre $$-x^2+x+1=0$$.
On reconnait un polynôme du second degré.
$$\Delta=1^2-4 \times(-1) \times 1=5$$
On a donc deux racines réelles distinctes :
$$x_1=\frac{-1-\sqrt{5}}{-2}=\frac{1+\sqrt{5}}{2} \geqslant 0$$ d'où : $$x_1=\frac{1+\sqrt{5}}{2} \geqslant 0$$
$$x_2=\frac{-1+\sqrt{5}}{-2}<0$$ donc n'est pas solution de l'équation sur $$[0 ;+\infty[$$
L'équation $$f(x)=x$$ admet donc une unique solution sur l'intervalle $$[0 ;+\infty[$$ notée $$\ell=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$$ .

Pour tout entier naturel $$n$$, posons la propriété $$P_{n} : 1 \leqslant u_{n+1} \leqslant u_n$$
$$\purple{\text{Etape d'initialisation}}$$
On a :
$$u_{0} =5$$
$$u_1=f\left(u_0\right)=f(5)=\sqrt{5+1}=\sqrt{6}$$.
Ainsi : $$1 \leqslant u_{1} \leqslant u_0$$ . La propriété $$P_{0}$$ est vraie.
$$\purple{\text{Etape d'hérédité}}$$
On suppose qu'il existe un entier $$k$$ tel que la propriété $$P_{k}$$ soit vraie c'est-à-dire : $$1 \leqslant u_{k+1} \leqslant u_k$$ et vérifions si la propriété est également vraie au rang $$k+1$$ c'est-à-dire : $$1 \leqslant u_{k+2} \leqslant u_{k+1}$$
Par hypothèse de récurrence,
$$1 \leqslant u_{k+1} \leqslant u_k$$ , or $$f:x\mapsto \sqrt{x+1}$$ une fonction croissante sur $$\left[0;+\infty\right[$$ et donc croissante en particulier sur $$\left[1;+\infty\right[$$. L'ordre est donc conservé , ainsi :
$$f\left(1\right) \le f\left(u_{k+1}\right) \le f\left(u_{k}\right)$$ . Comme $$f\left(x\right)=\sqrt{x+1}$$ alors : $$f\left(u_{k} \right)=u_{k+1}$$ et $$f\left(u_{k+1} \right)=u_{k+2}$$ . Il vient alors que :
$$f\left(1\right) \le u_{k+1} \le u_{k+2}$$ .
De plus : $$f\left(1\right)=\sqrt{2}$$
Ainsi :
$$\red{1 \le}\sqrt{2} \le u_{k+1} \le u_{k+2}$$
Finalement : $$1 \leqslant u_{k+2} \leqslant u_{k+1}$$
Ainsi la propriété $$P_{k+1}$$ est vraie.
$$\purple{\text{Conclusion}}$$
Puisque la propriété $$P_{0}$$ est vraie et que nous avons prouvé l'hérédité, on peut en déduire, par le principe de récurrence que pour tout entier naturel $$n$$, on a $$P_{n}$$ vraie, c'est à dire que pour tout entier naturel $$n$$, $$1 \leqslant u_{n+1} \leqslant u_n$$ .

D'après la question $$2$$ nos avons montré que pour tout entier naturel $$n$$, on a $$1 \leqslant u_{n+1} \leqslant u_n$$ .
Comme $$u_{n+1} \leqslant u_n$$ cela signifie que la suite $$\left(u_n\right)$$ est décroissante.
Comme $$1 \leqslant u_n$$ cela signifie que la suite $$\left(u_n\right)$$ est minorée par $$1$$.
On vient de démontrer que la suite $$\left(u_{n} \right)$$ était minorée par $$1$$ car : $$u_{n} \ge 1$$. De plus, la suite $$\left(u_{n} \right)$$ est décroissante.
D'après le théorème de convergence des suites monotones , on peut affirmer que la suite $$\left(u_{n} \right)$$ est convergente et admet donc une limite que l'on note $$\ell$$ où $$\ell \ge 1$$

La fonction $$f$$ est continue sur $$\left[0;+\infty\right[$$ .

La suite $$\left(u_{n} \right)$$ est convergente et admet donc une limite que l'on note $$\ell$$.

$$u_{n+1}=f\left(u_n\right)$$

D'après le théorème du point fixe , $$\ell$$ est une solution de l'équation $$f(x)=x$$
D'après la question $$3$$, l'équation $$f(x)=x$$ admet donc une unique solution sur l'intervalle $$[0 ;+\infty[$$ notée $$\ell=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$$ .