Epreuve d'enseignement de spécialité Nouvelle-Calédonie 26 octobre 2022 Jour 1 - Exercice 1

D'après le rappel, en langage Python, « $$i$$ in range $$\left(n\right)$$ » signifie que $$i$$ varie de $$0$$ à $$n-1$$ .
Nous souhaitons la valeur renvoyée par fonc (2) .
Si l'on applique ce programme, celui ci-retournera donc la valeur de $$u_2$$ .

On considère la fonction $$f$$ définie sur $$\mathbb{R}$$ par $$f\left(x\right)=x^3e^x$$ .
D'une part :
Il en résulte donc que
D'autre part :
De manière évidente :

On considère la fonction $$f$$ définie sur $$\mathbb{R}$$ par $$f\left(x\right)=x^3e^x$$ .
$$f$$ est dérivable sur $$\mathbb{R}$$ .
Ici on reconnaît la forme $$\left(uv\right)'=u'v+uv'$$ avec $$u\left(x\right)=x^3$$ et $$v\left(x\right)=e^{x}$$. On a alors : $$u'\left(x\right)=3x^2$$ et $$v\left(x\right)=e^{x}$$
Ainsi :
$$f'\left(x\right)=3x^2e^x+x^3e^x$$
$$f'\left(x\right)=3\times {\color{blue}{x^2\times e^x}}+x\times {\color{blue}{x^2\times e^x}}$$ . Nous allons factoriser par $${\color{blue}{x^2\times e^x}}$$ .
Ainsi :

D'après la question précédente, nous savons que pour tout réel $$x$$, on a : $$f'\left(x\right)=x^2e^x\left(x+3\right)$$ .
Pour tout réel $$x$$, on sait que : $$x^2\ge 0$$ et $$e^x>0$$ . Le signe de $$f'$$ dépend alors de $$x+3$$ .
$$x+3\ge 0\Longleftrightarrow x\ge -3$$
Cela signifie que l'on va mettre le signe $$+$$ dans la ligne de $$x+3$$ lorsque $$x$$ sera supérieur ou égale à $$-3$$.
Il en résulte donc que :

• si $$x\in\left]-\infty;-3\right]$$ alors $$f'\left(x\right)\le0$$ et donc $$f$$ est décroissante sur cet intervalle.
• si $$x\in\left[-3;+\infty\right[$$ alors $$f'\left(x\right)\ge0$$ et donc $$f$$ est croissante sur cet intervalle.

Nous traduisons toutes ces informations dans le tableau de variation ci-dessous :De plus :

Pour tout entier naturel $$n$$, posons la propriété $$P_{n} :-1\le u_n \le u_{n+1} \le 0$$
$$\purple{\text{Etape d'initialisation}}$$
On a vu précédemment que $$u_0 = -1$$ et $$u_1\approx -0,368$$.
Ainsi : $$-1 \le u_{0} \le u_{1} \le 0$$
La propriété $$P_{0}$$ est vraie.
$$\purple{\text{Etape d'hérédité}}$$
On suppose qu'il existe un entier $$k$$ tel que la propriété $$P_{k}$$ soit vraie c'est-à-dire : $$-1 \le u_{k} \le u_{k+1} \le 0$$ et vérifions si la propriété est également vraie au rang $$k+1$$ c'est-à-dire : $$-1 \le u_{k+1} \le u_{k+2} \le 0$$
Par hypothèse de récurrence,
$$-1 \le u_{k} \le u_{k+1} \le 0$$ , or $$f:x\mapsto x^3e^x$$ une fonction croissante sur $$\left]-3;+\infty\right[$$ et donc croissante en particulier sur $$\left[-1;0\right]$$. L'ordre est donc conservé , ainsi :
$$f\left(-1\right) \le f\left(u_{k}\right) \le f\left(u_{k+1}\right) \le f\left(0\right)$$ . Comme $$f\left(x\right)=x^3e^x$$ alors : $$f\left(u_{k} \right)=u_{k+1}$$ et $$f\left(u_{k+1} \right)=u_{k+2}$$ . Il vient alors que :
$$f\left(-1\right) \le u_{k+1} \le u_{k+2} \le f\left(0\right)$$ .
De plus : $$f\left(-1\right)=\left(-1\right)^3e^{\left(-1\right)}\approx -0,368$$ et $$f\left(0\right)=0^3e^0=0$$
Ainsi :
$$\red{-1 \le}\left(-1\right)^3e^{\left(-1\right)} \le u_{k+1} \le u_{k+2} \le 0$$
Finalement : $$-1 \le u_{k+1} \le u_{k+2} \le 0$$
Ainsi la propriété $$P_{k+1}$$ est vraie.
$$\purple{\text{Conclusion}}$$
Puisque la propriété $$P_{0}$$ est vraie et que nous avons prouvé l'hérédité, on peut en déduire, par le principe de récurrence que pour tout entier naturel $$n$$, on a $$P_{n}$$ vraie, c'est à dire que pour tout entier naturel $$n$$, $$-1\le u_n \le u_{n+1} \le 0$$ .

On vient de démontrer que la suite $$\left(u_{n} \right)$$ était bornée car : $$-1\le u_n \le u_{n+1} \le 0$$. La suite $$\left(u_{n} \right)$$ est donc également majorée par $$0$$ c'est à dire $$u_{n} \le 0$$.
De plus, la suite $$\left(u_{n} \right)$$ est croissante car $$u_n \le u_{n+1}$$ .
D'après le théorème de convergence des suites monotones , on peut affirmer que la suite $$\left(u_{n} \right)$$ est convergente et admet donc une limite que l'on note $$\ell$$.

$$f\left(x\right) = x$$ équivaut successivement à :
$$x^3e^x=x$$
$$x^3e^x-x=0$$
$$x\times x^2e^x-x=0$$
$$x\left(x^2e^x-1\right)=0$$
Il s'agit d'une équation produit nul.
D'une part : $$x=0$$
D'autre part : $$x^2e^x-1=0$$ . D'après le rappel, l’équation $$x^2e^x-1=0$$ possède une seule solution dans $$\mathbb{R}$$ et que celle-ci est strictement supérieure à $$\frac{1}{2}$$ .
D'après la question $$6$$, nous savons que la suite $$\left(u_{n} \right)$$ est convergente et admet donc une limite que l'on note $$\ell$$ et comme $$-1\le u_n \le u_{n+1} \le 0$$ alors $$\ell \in \left[-1;0\right]$$ .
Or une solution strictement supérieure à $$\frac{1}{2}$$ fait que cette solution ne peut pas appartenir à l'intervalle $$\left[-1;0\right]$$ .
$$\ell=0$$ est alors la limite de la suite $$\left(u_n\right)$$.