Exercices types : $$1$$^ère partie - Exercice 2

On reconnaît ici $$u^{n}$$ où $$u\left(x\right)=6-5x$$ et $$n=3$$. Ainsi $$u'\left(x\right)=-5$$.
Il en résulte que :
$$f'\left(x\right)=3\times \left(-5\right)\times\left(6-5x\right)^{3-1}$$

Pour tout réel $$x$$, nous savons qu'un carré est positif ou nul. Ainsi : $$\left(6-5x\right)^{2} \ge 0$$ . Or $$-15<0$$ . Il vient alors que $$-15\left(6-5x\right)^{2}\le0$$ c'est à dire $$f'\left(x\right)\le0$$ .
La fonction $$f$$ est donc décroissante sur $$\mathbb{R}$$ .

Pour étudier la convexité de la fonction $$f$$, il faut étudier le signe de $$f''$$.
Pour tout réel $$x$$ appartenant à l'intervalle $$\left]-\infty;+\infty\right[$$, on a : $$f'\left(x\right)=-15\left(6-5x\right)^{2}$$ .
On reconnaît ici $$u^{n}$$ où $$u\left(x\right)=6-5x$$ et $$n=2$$. Ainsi $$u'\left(x\right)=-5$$.
Il en résulte que :
$$f''\left(x\right)=-15\times 2\times\left(-5\right)\times\left(6-5x\right)^{2-1}$$
Ainsi :
Comme $$150>0$$, le signe de $$f''$$ dépend alors de $$6-5x$$ .
Pour étudier son signe on résout l'inéquation $$6-5x\ge 0$$, il vient alors :
$$6-5x\ge 0$$ équivaut successivement à :
$$-5x\ge -6$$
$$x\le \frac{-6}{-5}$$ (on change le sens de l'inéquation car on divise par un nombre négatif)
$$x\le \frac{6}{5}$$
Cela signifie que l'on va mettre le signe $$+$$ dans la ligne de $$6-5x$$ lorsque $$x$$ sera inférieur ou égale à $$\frac{6}{5}$$.
Il en résulte :

Au point d'abscisse $$x=\frac{6}{5}$$, la dérivée seconde s'annule et change de signe en ce point.
En effet :

Lorsque $$x\in \left]-\infty;\frac{6}{5}\right]$$, nous avons $$f''\left(x\right)\ge 0$$

Lorsque $$x\in \left[\frac{6}{5};+\infty\right[$$, nous avons $$f''\left(x\right)\le 0$$

Lorsque $$x=\frac{6}{5}$$, nous avons $$f''\left(x\right)= 0$$

Il en résulte qu'au point d'abscisse $$x=\frac{6}{5}$$, la courbe admet un point d'inflexion.