Exercices types : $$1$$^ère partie - Exercice 3

$$f$$ est dérivable sur $$\mathbb{R}$$.
Ici $$u\left(x\right)=-2x+3$$ et donc $$u'\left(x\right)=-2$$.
Ainsi :
$$f'\left(x\right)=-4\times \left(-2\right)\times e^{-2x+3}$$

Nous allons calculer maintenant $$f''$$.
$$f'$$ est dérivable sur $$\mathbb{R}$$.
Ici $$u\left(x\right)=-2x+3$$ et donc $$u'\left(x\right)=-2$$.
Ainsi :
$$f''\left(x\right)=8\times \left(-2\right)\times e^{-2x+3}$$

Pour étudier la convexité de la fonction $$f$$, il faut étudier le signe de $$f''$$.
Pour tout réel $$x$$ appartenant à l'intervalle $$\left]-\infty;+\infty\right[$$, on vérifie aisément que $$e^{-2x+3}>0$$ et que $$-16<0$$ .
Il en résulte donc que $$f''\left(x\right)<0$$ .