Exercices types : 11ère partie - Exercice 5

20 min
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Question 1
La fonction ff est définie sur R\mathbb{R} par : f(x)=3x4−8x3−6x2+24xf\left(x\right)=3x^{4}-8x^{3}-6x^{2}+24x.

Déterminer la limite de la fonction ff en −∞-\infty et en +∞+\infty .

Correction
D’une part :\pink{\text{D'une part :}}
lim⁡x→−∞3x4−8x3=+∞lim⁡x→−∞−6x2+24x=−∞}\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to -\infty } 3x^{4}-8x^{3} } & {=} & {+\infty } \\ {\lim\limits_{x\to -\infty } -6x^{2}+24x} & {=} & {-\infty } \end{array}\right\} nous rencontrons une forme indéterminée de la forme +∞−∞+\infty -\infty
Pour lever cette indeˊtermination, nous allons factoriser par le monoˆme de plus haut degreˊ.\blue{\text{Pour lever cette indétermination, nous allons factoriser par le monôme de plus haut degré.}} Ici, en l’occurrence par\blue{\text{Ici, en l'occurrence par}} x4\blue{x^{4} }.
lim⁡x→−∞3x4−8x3−6x2+24x=lim⁡x→−∞x4(3x4−8x3−6x2+24xx4)\lim\limits_{x\to -\infty } 3x^{4}-8x^{3}-6x^{2}+24x=\lim\limits_{x\to -\infty } x^{4} \left(\frac{3x^{4}-8x^{3}-6x^{2}+24x}{x^{4} } \right)
lim⁡x→−∞3x4−8x3−6x2+24x=lim⁡x→−∞x4(3x4x4−8x3x4−6x2x4+24xx4)\lim\limits_{x\to -\infty } 3x^{4}-8x^{3}-6x^{2}+24x=\lim\limits_{x\to -\infty } x^{4} \left(\frac{3x^{4}}{x^{4} }-\frac{8x^{3} }{x^{4} } -\frac{6x^2}{x^{4} } +\frac{24x}{x^{4} } \right)
lim⁡x→−∞3x4−8x3−6x2+24x=lim⁡x→−∞x4(3−8x−6x2+24x3)\lim\limits_{x\to -\infty } 3x^{4}-8x^{3}-6x^{2}+24x=\lim\limits_{x\to -\infty } x^{4} \left(3-\frac{8}{x} -\frac{6}{x^{2}}+\frac{24}{x^{3}} \right)
lim⁡x→−∞x4=+∞lim⁡x→−∞3−8x−6x2+24x3=3}\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to -\infty } x^{4} } & {=} & {+\infty } \\ {\lim\limits_{x\to -\infty } 3-\frac{8}{x} -\frac{6}{x^{2}}+\frac{24}{x^{3}} } & {=} & {3} \end{array}\right\} par produit :\text{\red{par produit :}}
lim⁡x→−∞x4(3−8x−6x2+24x3)=+∞\lim\limits_{x\to -\infty } x^{4} \left(3-\frac{8}{x} -\frac{6}{x^{2}}+\frac{24}{x^{3}} \right) =+\infty

Finalement :\purple{\text{Finalement :}}
lim⁡x→−∞3x4−8x3−6x2+24x=+∞\lim\limits_{x\to -\infty }3x^{4}-8x^{3}-6x^{2}+24x=+\infty

D’autre part :\pink{\text{D'autre part :}}
lim⁡x→+∞3x4+24x=+∞lim⁡x→+∞−8x3−6x2=−∞}\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to +\infty } 3x^{4}+24x } & {=} & {+\infty } \\ {\lim\limits_{x\to +\infty } -8x^{3}-6x^{2}} & {=} & {-\infty } & \end{array}\right\} nous rencontrons une forme indéterminée de la forme +∞−∞+\infty -\infty
Pour lever cette indeˊtermination, nous allons factoriser par le monoˆme de plus haut degreˊ.\blue{\text{Pour lever cette indétermination, nous allons factoriser par le monôme de plus haut degré.}} Ici, en l’occurrence par\blue{\text{Ici, en l'occurrence par}} x4\blue{x^{4} }.
lim⁡x→+∞3x4−8x3−6x2+24x=lim⁡x→+∞x4(3x4−8x3−6x2+24xx4)\lim\limits_{x\to +\infty } 3x^{4}-8x^{3}-6x^{2}+24x=\lim\limits_{x\to +\infty } x^{4} \left(\frac{3x^{4}-8x^{3}-6x^{2}+24x}{x^{4} } \right)
lim⁡x→+∞3x4−8x3−6x2+24x=lim⁡x→+∞x4(3x4x4−8x3x4−6x2x4+24xx4)\lim\limits_{x\to +\infty } 3x^{4}-8x^{3}-6x^{2}+24x=\lim\limits_{x\to +\infty } x^{4} \left(\frac{3x^{4}}{x^{4} }-\frac{8x^{3} }{x^{4} } -\frac{6x^2}{x^{4} } +\frac{24x}{x^{4} } \right)
lim⁡x→+∞3x4−8x3−6x2+24x=lim⁡x→+∞x4(3−8x−6x2+24x3)\lim\limits_{x\to +\infty } 3x^{4}-8x^{3}-6x^{2}+24x=\lim\limits_{x\to +\infty } x^{4} \left(3-\frac{8}{x} -\frac{6}{x^{2}}+\frac{24}{x^{3}} \right)
lim⁡x→+∞x4=+∞lim⁡x→+∞3−8x−6x2+24x3=3}\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to +\infty } x^{4} } & {=} & {+\infty } \\ {\lim\limits_{x\to +\infty } 3-\frac{8}{x} -\frac{6}{x^{2}}+\frac{24}{x^{3}} } & {=} & {3} \end{array}\right\} par produit :\text{\red{par produit :}}
lim⁡x→+∞x4(3−8x−6x2+24x3)=+∞\lim\limits_{x\to +\infty } x^{4} \left(3-\frac{8}{x} -\frac{6}{x^{2}}+\frac{24}{x^{3}} \right) =+\infty

Finalement :\purple{\text{Finalement :}}
lim⁡x→+∞3x4−8x3−6x2+24x=+∞\lim\limits_{x\to +\infty }3x^{4}-8x^{3}-6x^{2}+24x=+\infty

Question 2

Démontrer que pour tout réel xx, on a : f′(x)=12(x−2)(x2−1)f'\left(x\right)=12\left(x-2\right)\left(x^{2}-1\right)

Correction
ff est dérivable sur R\mathbb{R}.
Il vient alors que :
f′(x)=12x3−24x2−12x+24f'\left(x\right)=12x^{3}-24x^{2}-12x+24

Nous allons maintenant développer l'expression 12(x−2)(x2−1)12\left(x-2\right)\left(x^{2}-1\right).
12(x−2)(x2−1)=12(x3−x−2x2+2)12\left(x-2\right)\left(x^{2} -1\right)=12\left(x^{3} -x-2x^{2} +2\right) équivaut successivement à :
12(x−2)(x2−1)=12x3−12x−24x2+2412\left(x-2\right)\left(x^{2} -1\right)=12x^{3} -12x-24x^{2} +24
12(x−2)(x2−1)=12x3−24x2−12x+2412\left(x-2\right)\left(x^{2} -1\right)=12x^{3} -24x^{2} -12x+24
12(x−2)(x2−1)=f′(x)12\left(x-2\right)\left(x^{2} -1\right)=f'\left(x\right)

Question 3

Etudier le sens de variation de ff. Dresser son tableau de variation complet.

Correction
D'après la question 22, nous savons que : f′(x)=12(x−2)(x2−1)f'\left(x\right)=12\left(x-2\right)\left(x^{2}-1\right)
Or : x2−1=(x−1)(x+1)x^{2}-1=\left(x-1\right)\left(x+1\right)
Ainsi :
f′(x)=12(x−2)(x−1)(x+1)f'\left(x\right)=12\left(x-2\right)\left(x-1\right)\left(x+1\right).
Nous allons donner ci-dessous le tableau de variation complet de ff ainsi que le détail des extrema.
  • f(−1)=3×(−1)4−8×(−1)3−6×(−1)2+24×(−1)f\left(-1\right)=3\times\left(-1\right)^{4}-8\times\left(-1\right)^{3}-6\times\left(-1\right)^{2}+24\times\left(-1\right) ainsi :
    f(−1)=−19f\left(-1\right)=-19
  • f(1)=3×14−8×13−6×12+24×1f\left(1\right)=3\times1^{4}-8\times1^{3}-6\times1^{2}+24\times1 ainsi :
    f(1)=13f\left(1\right)=13
  • f(2)=3×24−8×23−6×22+24×2f\left(2\right)=3\times2^{4}-8\times2^{3}-6\times2^{2}+24\times2 ainsi :
    f(2)=8f\left(2\right)=8

    • Question 4

    Démontrer que l'équation f(x)=0f\left(x\right)=0 admet deux solutions α\alpha et β\beta . On suppose que β>α\beta>\alpha

    Correction
    Nous allons faire apparaitre les zéros recherché dans le tableau de variation. Il vient alors que :

    De plus :
    • Sur [1;+∞[\left[1;+\infty\right[ , la fonction ff est continue et admet 88 comme minimum.
      La fonction ff est strictement positive.
      Donc l'équation f(x)=0f\left(x\right) = 0 n'a pas de solution sur cet intervalle.
    • Sur ]−∞;−1]\left]-\infty;-1\right] , la fonction ff est continue et strictement décroissante.
      De plus, lim⁡x→−∞f(x)=+∞\lim _{x \rightarrow -\infty}{f(x)} = +\infty et f(−1)=−19f\left(-1\right)=-19
      Or 0∈[−19;+∞[0 \in \left[-19;+\infty\right[ , donc d'après le théorème des valeurs intermédiaires, il existe une unique solution α\alpha sur ]−∞;−1]\left]-\infty;-1\right] tel que f(x)=0f\left(x\right) = 0
    • Sur [−1;1]\left[-1;1\right] , la fonction ff est continue et strictement croissante.
      De plus, f(−1)=−19f\left(-1\right)=-19 et f(1)=13f\left(1\right)=13
      Or 0∈[−19;13]0 \in \left[-19;13\right] , donc d'après le théorème des valeurs intermédiaires, il existe une unique solution β\beta sur [−1;1]\left[-1;1\right] tel que f(x)=0f\left(x\right) = 0
    Finalement l'équation f(x)=0f\left(x\right)=0 admet deux solutions α\alpha et β\beta.

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