Le théorème des valeurs intermédiaires : niveau difficile - Exercice 1

D'une part, commençons par calculer la limite en $$-\infty$$.
$$\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to -\infty } 2x^{3} } & {=} & {-\infty } \\ {\lim\limits_{x\to -\infty } -3x^{2}-1} & {=} & {-\infty } \end{array}\right\}$$ par somme :
D'autre part, la limite en $$+\infty$$.
$$\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to +\infty } 2x^{3} } & {=} & {+\infty } \\ {\lim\limits_{x\to +\infty } -3x^{2}-1} & {=} & {-\infty } \end{array}\right\}$$ nous rencontrons une forme indéterminée de la forme $$+\infty -\infty$$
Pour relever cette indétermination, nous allons factoriser par le monôme de plus haut degré.
Ici, en l'occurrence par $$x^{3}$$.
$$\lim\limits_{x\to +\infty } 2x^{3} -3x^{2}-1=\lim\limits_{x\to +\infty } x^{3} \left(\frac{2x^{3} -3x^{2}-1}{x^{3} } \right)$$
$$\lim\limits_{x\to +\infty } 2x^{3} -3x^{2}-1=\lim\limits_{x\to +\infty } x^{3} \left(\frac{2x^{3} }{x^{3} } -\frac{3x^{2}}{x^{3} } -\frac{1}{x^{3} } \right)$$
$$\lim\limits_{x\to +\infty } 2x^{3} -3x^{2}-1=\lim\limits_{x\to +\infty } x^{3} \left(2-\frac{3}{x} -\frac{1}{x^{3} } \right)$$
$$\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to +\infty } x^{3} } & {=} & {+\infty } \\ {\lim\limits_{x\to +\infty } 2-\frac{3}{x} -\frac{1}{x^{3}} } & {=} & {2} \end{array}\right\}$$ par produit :

Pour tout réel $$x$$, on a :
$$f'\left(x\right)=6x^{2} -6x$$
$$f'\left(x\right)=6x\left(x-1\right)$$. Ainsi :
si $$x\ge 0$$ alors $$6x\ge 0$$ et $$x\ge 1$$ alors $$x-1\ge 0$$. Nous allons traduire cela dans un tableau de variation pour la fonction $$f$$.

On reprend le tableau de variation fait à la question $$2$$. On fera apparaître dans le tableau la valeur deux que l'on recherche.

• Sur $$\left]-\infty;1\right]$$, la fonction $$f$$ est continue et admet $$-1$$ comme maximum.
  La fonction $$f$$ est strictement négative. Donc l'équation $$f\left(x\right)=2$$ n'a pas de solution sur cet intervalle.
• Sur $$\left[1;+\infty\right[$$, la fonction $$f$$ est continue et strictement croissante.
  De plus, $$f\left(1\right)=-2$$ et $$\lim\limits_{x\to +\infty } f\left(x\right)=+\infty$$ . Or $$2\in \left[-2;+\infty \right[$$, donc d'après le théorème des valeurs intermédiaires, il existe une unique solution $$\alpha$$ appartenant à $$\mathbb{R}$$ tel que $$f\left(x\right)=2$$.

A la calculatrice, on vérifie que :
$$f(1,91)\approx1,9914$$ et $$f(1,92)\approx2,0965$$
Or $$2 \in \left[1,9914;2,0965\right]$$, donc d'après le théorème des valeurs intermédiaires on en déduit que : $$1,91\le\alpha\le1,92$$