Soit f une fonction définie pour tout réel x non nul, par : x1≤f(x)≤x2+1x−1 .
Calculez x→+∞limf(x).
Correction
D'une part :x→+∞limx1=0 D'autre part :
Au voisinage de +∞ et de −∞ , la limite d'un polynôme est équivalent à la limite de son monôme de plus haut degré.
Autrement dit, à l'aide d'un exemple : x→+∞lim5x4−3x6+2x3−x+1=x→+∞lim−3x6=−∞. En effet, le monôme de plus haut degré pour la fonction x↦5x4−3x6+2x3−x+1 est −3x6.
x→+∞limx2+1x−1=x→+∞limx2x x→+∞limx2+1x−1=x→+∞limx1 x→+∞limx2+1x−1=0 D'après le théorème des gendarmes
x→+∞limf(x)=0
Question 2
Soit x un réel tel que x=0 et x=4. Soit f une fonction définie par : 3+x2≤f(x)≤2x−86x−1 .
Calculez x→−∞limf(x).
Correction
D'une part :x→−∞lim3+x2=3 D'autre part :
Au voisinage de +∞ et de −∞ , la limite d'un polynôme est équivalent à la limite de son monôme de plus haut degré.
Autrement dit, à l'aide d'un exemple : x→+∞lim5x4−3x6+2x3−x+1=x→+∞lim−3x6=−∞. En effet, le monôme de plus haut degré pour la fonction x↦5x4−3x6+2x3−x+1 est −3x6.
x→−∞lim2x−86x−1=x→−∞lim2x6x x→−∞lim2x−86x−1=x→−∞lim26 x→−∞lim2x−86x−1=3 D'après le théorème des gendarmes
x→−∞limf(x)=3
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