Dérivée de la fonction composée $$x\mapsto \ln\left(u\left(x\right)\right)$$ - Exercice 1

La fonction $$f$$ est définie si et seulement si $$4x+6>0\Leftrightarrow x>-\frac{3}{2}$$.
Ainsi le domaine de définition est $$Df=\left]-\frac{3}{2} ;+\infty \right[$$.
De plus le domaine de dérivabilité est le même intervalle que celui du domaine de définition. Ainsi $$f$$ est dérivable sur $$\left]-\frac{3}{2} ;+\infty \right[$$.
On a : $$u\left(x\right)=4x+6$$ et $$u'\left(x\right)=4$$
Ainsi : $$f'\left(x\right)=2\times \frac{4}{4x+6}$$
D'où :

La fonction $$f$$est définie si et seulement si $$7x-14>0\Leftrightarrow 7x>14\Leftrightarrow x>\frac{14}{7}\Leftrightarrow x>2$$.
Ainsi le domaine de définition est $$Df=\left]2 ;+\infty \right[$$.
De plus le domaine de dérivabilité est le même intervalle que celui du domaine de définition. Ainsi $$f$$ est dérivable sur $$\left]2 ;+\infty \right[$$.
On a $$u\left(x\right)=7x-14$$ et $$u'\left(x\right)=7$$ .
Ainsi :
$$f'\left(x\right)=5\times \frac{7}{7x-14}$$
D'où :

La fonction $$f$$ est définie si et seulement si $$x^{2} +1>0\Leftrightarrow x\in \mathbb{R}$$.
Ainsi le domaine de définition est $$Df=\left]-\infty ;+\infty \right[$$.
De plus le domaine de dérivabilité est le même intervalle que celui du domaine de définition. Ainsi $$f$$ est dérivable sur $$\left]-\infty ;+\infty \right[$$.
On a $$u\left(x\right)=x^{2} +1$$ et $$u'\left(x\right)=2x$$
Ainsi :

La fonction $$f$$ est définie si et seulement si $$\ln \left(x\right)>0\Leftrightarrow \ln \left(x\right)>\ln \left(1\right)\Leftrightarrow x>1$$.
Ainsi le domaine de définition est $$Df=\left]1;+\infty \right[$$.
De plus le domaine de dérivabilité est le même intervalle que celui du domaine de définition. Ainsi $$f$$ est dérivable sur $$\left]1;+\infty \right[$$.
On a $$u\left(x\right)=\ln \left(x\right)$$ et $$u'\left(x\right)=\frac{1}{x}$$
Ainsi :
$$f'\left(x\right)=\frac{\left(\frac{1}{x} \right)}{\ln \left(x\right)}$$
Finalement :

La fonction $$f$$ est définie si et seulement si: $$\left\{\begin{array}{c} {x+1>0} \\ {\text{ et }} \\ {2x>0} \end{array}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{c} {x>-1} \\ {\text{ et }} \\ {x>0} \end{array}\right.$$
Ainsi le domaine de définition est
De plus le domaine de dérivabilité est le même intervalle que celui du domaine de définition. Ainsi $$f$$ est dérivable sur $$\left]0;+\infty \right[$$.
On reconnaît la forme $$\left(\frac{u}{v} \right)^{'} =\frac{u'v-uv'}{v^{2} }$$ avec $$u\left(x\right)=\ln \left(x+1\right)$$ et $$v\left(x\right)=\ln \left(2x\right)$$.
Ainsi $$u'\left(x\right)=\frac{1}{x+1}$$ et $$v'\left(x\right)=\frac{2}{2x} =\frac{1}{x}$$.
Il vient alors que :
$$f'\left(x\right)=\frac{\frac{1}{x+1} \times \ln \left(2x\right)-\ln \left(x+1\right)\times \frac{1}{x} }{\left(\ln \left(2x\right)\right)^{2} }$$
Finalement :

Comme pour tout réel $$x$$, on sait que $$e^{x} >0$$ et $$3x^{2} +1>0$$ .
La fonction $$f$$ est définie si et seulement si $$e^{x} +3x^{2} +1>0\Leftrightarrow x\in \mathbb{R}$$.
Ainsi le domaine de définition est $$Df=\left]-\infty ;+\infty \right[$$.
De plus le domaine de dérivabilité est le même intervalle que celui du domaine de définition. Ainsi $$f$$ est dérivable sur $$\left]-\infty ;+\infty \right[$$.
On reconnaît la forme $$\left(\ln \left(u\right)\right)^{'} =\frac{u'}{u}$$
On a $$u\left(x\right)=e^{x} +3x^{2} +1$$ et $$u'\left(x\right)=e^{x} +6x$$
Ainsi :

La fonction $$f$$ est définie si et seulement si $$\frac{1}{x}>0\Leftrightarrow x\in \left]0;+\infty \right[$$.
Ainsi le domaine de définition est $$Df=\left]0;+\infty \right[$$.
De plus le domaine de dérivabilité est le même intervalle que celui du domaine de définition. Ainsi $$f$$ est dérivable sur $$\left]0;+\infty \right[$$.
On a : $$u\left(x\right)=\frac{1}{x}$$ et $$u'\left(x\right)=-\frac{1}{x^{2}}$$
D'où :
$$f'\left(x\right)=\frac{-\frac{1}{x^{2}}}{\frac{1}{x}}$$ . On multiplie par l'inverse du dénominateur :
$$f'\left(x\right)=-\frac{1}{x^{2} } \times \frac{x}{1}$$
Ainsi :

La fonction $$f$$ est définie si et seulement si $$2e^{x} +3e^{-x} >0\Leftrightarrow x\in \left]-\infty;+\infty \right[$$. En effet, nous savons que , pour tout réel $$x$$, $$2e^{x}>0$$ et $$3e^{-x} >0$$
Ainsi le domaine de définition est $$Df=\left]-\infty;+\infty \right[$$.
De plus le domaine de dérivabilité est le même intervalle que celui du domaine de définition. Ainsi $$f$$ est dérivable sur $$\left]-\infty;+\infty \right[$$.
On a : $$u\left(x\right)=2e^{x} +3e^{-x}$$ et $$u'\left(x\right)=2e^{x} -3e^{-x}$$ .
D'où :

On reconnaît la forme $$\left(\ln \left(u\right)\right)^{'} =\frac{u'}{u}$$ avec $$u\left(x\right)=\frac{3x+4}{2x-2}$$ . Nous allons calculer tout d'abord la dérivée de $$u$$ .
Il vient alors que :
$$u'\left(x\right)=\frac{3\times \left(2x-2\right)-\left(3x+4\right)\times \left(2\right)}{\left(2x-2\right)^{2} }$$
$$u'\left(x\right)=\frac{6x-6-\left(6x+8\right)}{\left(2x-2\right)^{2} }$$
$$u'\left(x\right)=\frac{6x-6-6x-8}{\left(2x-2\right)^{2} }$$

Nous allons pouvoir calculer, maintenant, la dérivée de $$f$$.
On reconnaît la forme $$\left(\ln \left(u\right)\right)^{'} =\frac{u'}{u}$$ avec $$u\left(x\right)=\frac{3x+4}{2x-2}$$ et $$u'\left(x\right)=\frac{-14}{\left(2x-2\right)^{2} }$$
Ainsi :
$$f'\left(x\right)=\frac{\left(\frac{-14}{\left(2x-2\right)^{2} } \right)}{\left(\frac{3x+4}{2x-2} \right)}$$
$$f'\left(x\right)=\frac{-14}{\left(2x-2\right)^{2} } \times \frac{2x-2}{3x+4}$$
$$f'\left(x\right)=\frac{-14}{\left(2x-2\right)\times \left(2x-2\right)} \times \frac{2x-2}{3x+4}$$
$$f'\left(x\right)=\frac{-14}{2x-2} \times \frac{1}{3x+4}$$