Dérivée de la fonction x↦ln⁡(x)x\mapsto \ln(x) - Exercice 1

25 min
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Déterminer les dérivées des fonctions suivantes, en donnant dans un premier temps leur domaine de dérivabilité.
Question 1

f(x)=2ln⁡(x)+x+2f\left(x\right)=2\ln \left(x\right)+x+2

Correction
(ln⁡(x))′=1x\left(\ln \left(x\right)\right)^{'} =\frac{1}{x}
La fonction ff est définie si et seulement si x>0x>0. De plus ff est dérivable sur ]0;+∞[\left]0;+\infty \right[.
f′(x)=2x+1f'\left(x\right)=\frac{2}{x} +1

On va mettre tout au même dénominateur pour nous préparer aux études de signe. Ainsi :
f′(x)=2+xxf'\left(x\right)=\frac{2+x}{x}
Question 2

f(x)=xln⁡(x)f\left(x\right)=x\ln \left(x\right)

Correction
La fonction ff est définie si et seulement si x>0x>0.
De plus ff est dérivable sur ]0;+∞[\left]0;+\infty \right[.
    Deˊriveˊe du produit\text{\purple{Dérivée du produit}}
On considère deux fonctions uu et vv, dérivables sur un intervalle II alors
(uv)′=u′v+uv′\left(uv\right)'=u'v+uv'
Ici on reconnaît la forme (uv)′=u′v+uv′\color{red}\boxed{\left(uv\right)'=u'v+uv'} avec u(x)=xu\left(x\right)=x et v(x)=ln⁡(x)v\left(x\right)=\ln \left(x\right).
Ainsi u′(x)=1u'\left(x\right)=1 et v′(x)=1xv'\left(x\right)=\frac{1}{x} .
Il vient alors que :
f′(x)=1×ln⁡(x)+x×1xf'\left(x\right)=1\times \ln \left(x\right)+x\times \frac{1}{x}
f′(x)=ln⁡(x)+xxf'\left(x\right)= \ln \left(x\right)+\frac{x}{x}
Ainsi :
f′(x)=ln⁡(x)+1f'\left(x\right)=\ln \left(x\right)+1
Question 3

f(x)=ln⁡(x)2x+1f\left(x\right)=\frac{\ln \left(x\right)}{2x+1}

Correction
La fonction ff est définie si et seulement si x>0x>0.
De plus ff est dérivable sur ]0;+∞[\left]0;+\infty \right[.
Ici on reconnaît la forme (uv)′=u′v−uv′v2\color{red}\boxed{\left(\frac{u}{v} \right)^{'} =\frac{u'v-uv'}{v^{2} }} avec u(x)=ln⁡(x)u\left(x\right)=\ln \left(x\right) et v(x)=2x+1v\left(x\right)=2x+1.
Ainsi u′(x)=1xu'\left(x\right)=\frac{1}{x} et v′(x)=2v'\left(x\right)=2.
Il vient alors que :
f′(x)=1x×(2x+1)−2ln⁡(x)(2x+1)2f'\left(x\right)=\frac{\frac{1}{x} \times \left(2x+1\right)-2\ln \left(x\right)}{\left(2x+1\right)^{2} }
f′(x)=1x×2x+1x×1−2ln⁡x(2x+1)2f'\left(x\right)=\frac{\frac{1}{x} \times 2x+\frac{1}{x} \times 1-2\ln x}{\left(2x+1\right)^{2} }
f′(x)=2xx+1x×1−2ln⁡x(2x+1)2f'\left(x\right)=\frac{\frac{2x}{x} +\frac{1}{x} \times 1-2\ln x}{\left(2x+1\right)^{2} }
f′(x)=2+1x−2ln⁡(x)(2x+1)2f'\left(x\right)=\frac{2+\frac{1}{x} -2\ln \left(x\right)}{\left(2x+1\right)^{2} }
Question 4

f(x)=(2x+3)ln⁡(x)f\left(x\right)=\left(2x+3\right)\ln \left(x\right)

Correction
La fonction ff est définie si et seulement si x>0x>0. De plus ffest dérivable sur ]0;+∞[\left]0;+\infty \right[.
    Deˊriveˊe du produit\text{\purple{Dérivée du produit}}
On considère deux fonctions uu et vv, dérivables sur un intervalle II alors
(uv)′=u′v+uv′\left(uv\right)'=u'v+uv'
Ici on reconnait la forme : (uv)′=u′v+uv′\color{red}\boxed{\left(uv\right)'=u'v+uv'} avec u(x)=2x+3u\left(x\right)=2x+3 et v(x)=ln⁡(x)v\left(x\right)=\ln \left(x\right).
Ainsi u′(x)=2u'\left(x\right)=2 et v′(x)=1xv'\left(x\right)=\frac{1}{x} .
Il vient alors que :
f′(x)=2×ln⁡(x)+(2x+3)×1xf'\left(x\right)=2\times \ln \left(x\right)+\left(2x+3\right)\times \frac{1}{x}
f′(x)=2ln⁡(x)+2x×1x+3×1xf'\left(x\right)=2\ln \left(x\right)+2x\times \frac{1}{x} +3\times \frac{1}{x}
f′(x)=2ln⁡(x)+2xx+3xf'\left(x\right)=2\ln \left(x\right)+\frac{2x}{x} +\frac{3}{x}
f′(x)=2ln⁡(x)+2+3xf'\left(x\right)=2\ln \left(x\right)+2+\frac{3}{x}
Question 5

f(x)=ln⁡(x)xf\left(x\right)=\frac{\ln \left(x\right)}{x}

Correction
La fonction ffest définie si et seulement si x>0x>0. De plus ffest dérivable sur ]0;+∞[\left]0;+\infty \right[.
Ici on reconnaît la forme : (uv)′=u′v−uv′v2\color{red}\boxed{\left(\frac{u}{v} \right)^{'} =\frac{u'v-uv'}{v^{2} }} avec u(x)=ln⁡(x)u\left(x\right)=\ln \left(x\right) et v(x)=xv\left(x\right)=x.
Ainsi : u′(x)=1xu'\left(x\right)=\frac{1}{x} et v′(x)=1v'\left(x\right)=1.
Il vient alors que :
f′(x)=1x×x−ln⁡(x)x2f'\left(x\right)=\frac{\frac{1}{x} \times x-\ln \left(x\right)}{x^{2} } équivaut successivement à :
f′(x)=1−ln⁡(x)x2f'\left(x\right)=\frac{1-\ln \left(x\right)}{x^{2} }

Question 6

f(x)=(2x2+3)ln⁡(x)f\left(x\right)=\left(2x^{2} +3\right)\ln \left(x\right)

Correction
La fonction ff est définie si et seulement si x>0x>0. De plus ffest dérivable sur ]0;+∞[\left]0;+\infty \right[.
    Deˊriveˊe du produit\text{\purple{Dérivée du produit}}
On considère deux fonctions uu et vv, dérivables sur un intervalle II alors
(uv)′=u′v+uv′\left(uv\right)'=u'v+uv'
Ici on reconnaît la forme : (uv)′=u′v+uv′\color{red}\boxed{\left(uv\right)'=u'v+uv'} avec u(x)=2x2+3u\left(x\right)=2x^{2} +3 et v(x)=ln⁡(x)v\left(x\right)=\ln \left(x\right).
Ainsi : u′(x)=4xu'\left(x\right)=4x et v′(x)=1xv'\left(x\right)=\frac{1}{x} .
Il vient alors que :
f′(x)=4x×ln⁡(x)+(2x2+3)×1xf'\left(x\right)=4x\times \ln \left(x\right)+\left(2x^{2} +3\right)\times \frac{1}{x} équivaut successivement à :
f′(x)=4xln⁡(x)+2x2×1x+3×1xf'\left(x\right)=4x\ln \left(x\right)+2x^{2} \times \frac{1}{x} +3\times \frac{1}{x}
f′(x)=4xln⁡(x)+2x2x+3xf'\left(x\right)=4x\ln \left(x\right)+\frac{2x^{2} }{x} +\frac{3}{x}
f′(x)=4xln⁡(x)+2x+3xf'\left(x\right)=4x\ln \left(x\right)+2x+\frac{3}{x}

Question 7

f(x)=9ln⁡(x)+4x−5f\left(x\right)=9\ln \left(x\right)+\frac{4}{x} -5

Correction
La fonction ff est définie si et seulement si x>0x>0. De plus ff est dérivable sur ]0;+∞[\left]0;+\infty \right[.
f′(x)=9x−4x2.f'\left(x\right)=\frac{9}{x} -\frac{4}{x^{2} } .
On va mettre tout au même dénominateur pour nous préparer aux études de signe.
Ainsi :
f′(x)=9x−4x2f'\left(x\right)=\frac{9x-4}{x^{2} }

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