Dérivée de la fonction x↦ln⁡(x)x\mapsto \ln(x) - Exercice 2

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Déterminer les dérivées des fonctions suivantes, en donnant dans un premier temps leur domaine de dérivabilité.
Question 1

f(x)=ln⁡(x)(ln⁡(x)−1)f\left(x\right)=\ln \left(x\right)\left(\ln \left(x\right)-1\right)

Correction
La fonction ff est définie si et seulement si x>0x>0. De plus ff est dérivable sur ]0;+∞[\left]0;+\infty \right[.
    Deˊriveˊe du produit\text{\purple{Dérivée du produit}}
On considère deux fonctions uu et vv, dérivables sur un intervalle II alors
(uv)′=u′v+uv′\left(uv\right)'=u'v+uv'
Ici on reconnaît la forme : (uv)′=u′v+uv′\color{red}\boxed{\left(uv\right)'=u'v+uv'} avec u(x)=ln⁡(x)u\left(x\right)=\ln \left(x\right) et v(x)=ln⁡(x)−1v\left(x\right)=\ln \left(x\right)-1.
Ainsi u′(x)=1xu'\left(x\right)=\frac{1}{x} et v′(x)=1xv'\left(x\right)=\frac{1}{x} .
Il vient alors que :
f′(x)=1x×(ln⁡(x)−1)+ln⁡(x)×1xf'\left(x\right)=\frac{1}{x} \times \left(\ln \left(x\right)-1\right)+\ln \left(x\right)\times \frac{1}{x} équivaut successivement à :
f′(x)=ln⁡(x)−1x+ln⁡(x)xf'\left(x\right)=\frac{\ln \left(x\right)-1}{x} +\frac{\ln \left(x\right)}{x}
f′(x)=ln⁡(x)−1+ln⁡(x)xf'\left(x\right)=\frac{\ln \left(x\right)-1+\ln \left(x\right)}{x} Ainsi :
f′(x)=2ln⁡(x)−1xf'\left(x\right)=\frac{2\ln \left(x\right)-1}{x}

Question 2

f(x)=ln⁡(x)x−ln⁡(x)f\left(x\right)=\frac{\ln \left(x\right)}{x-\ln \left(x\right)} . On suppose que ff est dérivable sur un intervalle II que l'on ne cherchera pas à démontrer.

Correction
Ici on reconnaît la forme : (uv)′=u′v−uv′v2\color{red}\boxed{\left(\frac{u}{v} \right)^{'} =\frac{u'v-uv'}{v^{2} }} avec u(x)=ln⁡(x)u\left(x\right)=\ln \left(x\right) et v(x)=x−ln⁡(x)v\left(x\right)=x-\ln \left(x\right).
Ainsi : u′(x)=1xu'\left(x\right)=\frac{1}{x} et v′(x)=1−1xv'\left(x\right)=1-\frac{1}{x} .
Il vient alors que :
f′(x)=1x×(x−ln⁡(x))−ln⁡(x)×(1−1x)(x−ln⁡(x))2f'\left(x\right)=\frac{\frac{1}{x} \times \left(x-\ln \left(x\right)\right)-\ln \left(x\right)\times \left(1-\frac{1}{x} \right)}{\left(x-\ln \left(x\right)\right)^{2} }
f′(x)=1x×x+1x×(−ln⁡(x))−ln⁡(x)−ln⁡(x)×(−1x)(x−ln⁡(x))2f'\left(x\right)=\frac{\frac{1}{x} \times x+\frac{1}{x} \times \left(-\ln \left(x\right)\right)-\ln \left(x\right)-\ln \left(x\right)\times \left(-\frac{1}{x} \right)}{\left(x-\ln \left(x\right)\right)^{2} }
f′(x)=xx−1x×ln⁡(x)−ln⁡(x)+ln⁡(x)×1x(x−ln⁡(x))2f'\left(x\right)=\frac{\frac{x}{x} -\frac{1}{x} \times \ln \left(x\right)-\ln \left(x\right)+\ln \left(x\right)\times \frac{1}{x} }{\left(x-\ln \left(x\right)\right)^{2} }
f′(x)=1−1x×ln⁡(x)−ln⁡(x)+ln⁡(x)×1x(x−ln⁡(x))2f'\left(x\right)=\frac{1-\frac{1}{x} \times \ln \left(x\right)-\ln \left(x\right)+\ln \left(x\right)\times \frac{1}{x} }{\left(x-\ln \left(x\right)\right)^{2} }

Ainsi :
f′(x)=1−ln⁡(x)(x−ln⁡(x))2f'\left(x\right)=\frac{1-\ln \left(x\right)}{\left(x-\ln \left(x\right)\right)^{2} }
Question 3

f(x)=5(ln⁡(x))2f\left(x\right)=5\left(\ln \left(x\right)\right)^{2}

Correction
La fonction ff est définie si et seulement si x>0x>0.
De plus ff est dérivable sur ]0;+∞[\left]0;+\infty \right[.
  • (un)′=n×u′×un−1\left(u^{n} \right)^{'} =n\times u'\times u^{n-1}
    • On reconnaît ici unu^{n} où u(x)=ln⁡(x)u\left(x\right)=\ln \left(x\right) et n=2n=2. Ainsi u′(x)=1xu'\left(x\right)=\frac{1}{x}.
    Il en résulte que :
    f′(x)=5×2×1x×(ln⁡(x))f'\left(x\right)=5\times 2\times \frac{1}{x} \times \left(\ln \left(x\right)\right)
    Finalement :
    f′(x)=10ln⁡(x)xf'\left(x\right)=\frac{10\ln \left(x\right)}{x}

    Question 4

    f(x)=2e−3xln⁡(x)f\left(x\right)=2e^{-3x} \ln \left(x\right)

    Correction
    La fonction ff est définie si et seulement si x>0x>0.
    De plus ff est dérivable sur ]0;+∞[\left]0;+\infty \right[.
      Deˊriveˊe du produit\text{\purple{Dérivée du produit}}
    On considère deux fonctions uu et vv, dérivables sur un intervalle II alors
    (uv)′=u′v+uv′\left(uv\right)'=u'v+uv'
    Ici on reconnaît la forme : (uv)′=u′v+uv′\color{red}\boxed{\left(uv\right)'=u'v+uv'} avec u(x)=2e−3xu\left(x\right)=2e^{-3x} et v(x)=ln⁡(x)v\left(x\right)=\ln \left(x\right).
  • (eu)′=u′eu\left(e^{u} \right)^{'} =u'e^{u}
    • Ainsi u′(x)=2×(−3)e−3xu'\left(x\right)=2\times \left(-3\right)e^{-3x} et v′(x)=1xv'\left(x\right)=\frac{1}{x} .
    Il vient alors que :
    f′(x)=2×(−3)e−3xln⁡(x)+2e−3x×1xf'\left(x\right)=2\times \left(-3\right)e^{-3x} \ln \left(x\right)+2e^{-3x} \times \frac{1}{x}
    Finalement :
    f′(x)=−6e−3xln⁡(x)+2e−3xxf'\left(x\right)=-6e^{-3x} \ln \left(x\right)+\frac{2e^{-3x} }{x}

    Question 5

    f(x)=cos⁡(x)ln⁡(x)f\left(x\right)=\cos \left(x\right)\ln \left(x\right)

    Correction
    La fonction ff est définie si et seulement si x>0x>0.
    De plus ff est dérivable sur ]0;+∞[\left]0;+\infty \right[.
      Deˊriveˊe du produit\text{\purple{Dérivée du produit}}
    On considère deux fonctions uu et vv, dérivables sur un intervalle II alors
    (uv)′=u′v+uv′\left(uv\right)'=u'v+uv'
    Ici on reconnaît la forme : (uv)′=u′v+uv′\color{red}\boxed{\left(uv\right)'=u'v+uv'} avec u(x)=cos⁡(x)u\left(x\right)=\cos \left(x\right) et v(x)=ln⁡(x)v\left(x\right)=\ln \left(x\right).
    Ainsi u′(x)=−sin⁡(x)u'\left(x\right)=-\sin \left(x\right) et v′(x)=1xv'\left(x\right)=\frac{1}{x} .
    Il vient alors que :
    f′(x)=−sin⁡(x)ln⁡(x)+cos⁡(x)×1xf'\left(x\right)=-\sin \left(x\right)\ln \left(x\right)+\cos \left(x\right)\times \frac{1}{x}
    f′(x)=−sin⁡(x)ln⁡(x)+cos⁡(x)xf'\left(x\right)=-\sin \left(x\right)\ln \left(x\right)+\frac{\cos \left(x\right)}{x}

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