Dérivée de la fonction x↦ln⁡(x)x\mapsto \ln(x) - Exercice 3

9 min
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Déterminer les dérivées des fonctions suivantes, en donnant dans un premier temps leur domaine de dérivabilité.
Question 1

f(x)=−4ln⁡(x)+3x2−5x+4f\left(x\right)=-4\ln \left(x\right)+3x^{2}-5x+4

Correction
(ln⁡(x))′=1x\left(\ln \left(x\right)\right)^{'} =\frac{1}{x}
La fonction ff est définie si et seulement si x>0x>0. De plus ff est dérivable sur ]0;+∞[\left]0;+\infty \right[.
f′(x)=−4x+6x−5f'\left(x\right)=-\frac{4}{x} +6x-5
f′(x)=−4x+6x1−51f'\left(x\right)=-\frac{4}{x} +\frac{6x}{1} -\frac{5}{1}
f′(x)=−4x+6x×x1×x−5×x1×xf'\left(x\right)=-\frac{4}{x} +\frac{6x\times x}{1\times x} -\frac{5\times x}{1\times x}
f′(x)=−4x+6x2x−5xxf'\left(x\right)=-\frac{4}{x} +\frac{6x^{2} }{x} -\frac{5x}{x}
f′(x)=−4+6x2−5xxf'\left(x\right)=\frac{-4+6x^{2} -5x}{x}
Ainsi :
f′(x)=6x2−5x−4xf'\left(x\right)=\frac{6x^{2} -5x-4}{x}

Question 2

f(x)=x2ln⁡(x)f\left(x\right)=x^{2}\ln \left(x\right)

Correction
(ln⁡(x))′=1x\left(\ln \left(x\right)\right)^{'} =\frac{1}{x}
La fonction ff est définie si et seulement si x>0x>0.
De plus ff est dérivable sur ]0;+∞[\left]0;+\infty \right[.
    Deˊriveˊe du produit\text{\purple{Dérivée du produit}}
On considère deux fonctions uu et vv, dérivables sur un intervalle II alors
(uv)′=u′v+uv′\left(uv\right)'=u'v+uv'
Ici on reconnaît la forme (uv)′=u′v+uv′\color{red}\boxed{\left(uv\right)'=u'v+uv'} avec u(x)=x2u\left(x\right)=x^{2} et v(x)=ln⁡(x)v\left(x\right)=\ln \left(x\right).
Ainsi u′(x)=2xu'\left(x\right)=2x et v′(x)=1xv'\left(x\right)=\frac{1}{x} .
Il vient alors que :
f′(x)=2x×ln⁡(x)+x2×1xf'\left(x\right)=2x\times \ln \left(x\right)+x^{2}\times \frac{1}{x}
f′(x)=2xln⁡(x)+x2xf'\left(x\right)= 2x\ln \left(x\right)+\frac{x^{2}}{x}
Finalement :
f′(x)=2xln⁡(x)+xf'\left(x\right)=2x\ln \left(x\right)+x
Question 3

f(x)=2ln⁡(x)−3x+4x+2f\left(x\right)=2\ln \left(x\right)-\frac{3}{x} +4x+2

Correction
(ln⁡(x))′=1x\left(\ln \left(x\right)\right)^{'} =\frac{1}{x}
La fonction ff est définie si et seulement si x>0x>0.
De plus ff est dérivable sur ]0;+∞[\left]0;+\infty \right[.
f′(x)=2x−(−3x2)+4f'\left(x\right)=\frac{2}{x} -\left(\frac{-3}{x^{2} } \right)+4
f′(x)=2x+3x2+4f'\left(x\right)=\frac{2}{x} +\frac{3}{x^{2} } +4
f′(x)=2x+3x2+41f'\left(x\right)=\frac{2}{x} +\frac{3}{x^{2} } +\frac{4}{1}
f′(x)=2×xx×x+3x2+4×x21×x2f'\left(x\right)=\frac{2\times x}{x\times x} +\frac{3}{x^{2} } +\frac{4\times x^{2} }{1\times x^{2} }
f′(x)=2xx2+3x2+4x2x2f'\left(x\right)=\frac{2x}{x^{2} } +\frac{3}{x^{2} } +\frac{4x^{2} }{x^{2} }
f′(x)=2x+3+4x2x2f'\left(x\right)=\frac{2x+3+4x^{2} }{x^{2} }
Ainsi :
f′(x)=4x2+2x+3x2f'\left(x\right)=\frac{4x^{2} +2x+3}{x^{2} }

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