Etudes de fonctions - Exercice 3

$$f\left(x\right)=0$$ équivaut successivement à :
$$3x\left(2-\ln \left(2x\right)\right)=0$$. Il s'agit d'une équation produit nul. D'où :
$$3x=0$$ ou $$2-\ln \left(2x\right)=0$$
$$\red{\text{ D'une part :}}$$
$$3x=0$$ donne $$x=0$$
$$\red{\text{ D'autre part :}}$$
$$2-\ln \left(2x\right)=0$$
$$-\ln \left(2x\right)=-2$$
$$\ln \left(2x\right)=2$$
$$\ln \left(2x\right)= \ln \left(e^{2} \right)$$
$$2x= e^{2}$$
$$x= \frac{e^{2}}{2}$$
Les solutions de l'équations sont alors :

Nous allons commencer par développer l'expression de la fonction $$f$$. On a :
$$f\left(x\right)=3x\left(2-\ln \left(2x\right)\right)$$ qui peut s'écrire :
$$f\left(x\right)=6x-3x\ln \left(2x\right)$$.
$$\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to 0^{+} } 6x} & {=} & {0} \\ {\lim\limits_{x\to 0^{+} } -3x\ln \left(2x\right)} & {=} & {0} \end{array}\right\}{\text{par addition}}$$ .

Calculons d'une part $$\lim\limits_{x\to +\infty } 3x\left(2-\ln \left(2x\right)\right)$$
$$\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to +\infty } 3x} & {=} & {+\infty} \\ {\lim\limits_{x\to +\infty } 2-\ln \left(2x\right)} & {=} & {-\infty} \end{array}\right\}{\text{par produit}}$$

Soit : $$f\left(x\right)=3x\left(2-\ln \left(2x\right)\right)$$ .
$$f$$ est dérivable sur $$\left]0;+\infty \right[$$.
On reconnaît la forme $$\left(uv\right)'=u'v+uv'$$ avec $$u\left(x\right)=3x$$ et $$v\left(x\right)=2-\ln \left(2x\right)$$.
Ainsi $$u'\left(x\right)=3$$ et $$v'\left(x\right)=-\frac{2}{2x}$$ c'est à dire $$v'\left(x\right)=-\frac{1}{x}$$
Il vient alors que :
$$f'\left(x\right)=3\times \left(2-\ln \left(2x\right)\right)+3x\times \left(-\frac{1}{x} \right)$$
$$f'\left(x\right)=6-3\ln \left(2x\right)-3$$
$$f'\left(x\right)=3-3\ln \left(2x\right)$$
Résolvons maintenant : $$3-3\ln \left(2x\right)\ge 0$$ pour connaître le signe de $$f'$$.
$$3-3\ln \left(2x\right)\ge 0$$ équivaut successivement à :
$$-3\ln \left(2x\right)\ge -3$$
$$\ln \left(2x\right)\le \frac{-3}{-3}$$
$$\ln \left(2x\right)\le 1$$
$$\ln \left(2x\right)\le \ln \left(e^{1} \right)$$
$$2x\le e^{1}$$
$$x\le \frac{e^{1}}{2}$$
Cela signifie que l'on mettra le signe $$+$$ pour le signe de $$3-3\ln \left(2x\right)$$ dès que $$x\le \frac{e^{1}}{2}$$. Autrement dit : $$f'\left(x\right)\ge 0$$ dès que $$x\le \frac{e^{1}}{2}$$
Nous traduisons cela dans un tableau de variation :
De plus :
$$f\left(\frac{e^{1}}{2}\right)=3\times \frac{e^{1}}{2}\left(2-\ln \left(2\times \frac{e^{1}}{2}\right)\right)$$
$$f\left(\frac{e^{1}}{2}\right)=\frac{3e^{1}}{2}\left(2-\ln \left(e^{1}\right)\right)$$
$$f\left(\frac{e^{1}}{2}\right)=\frac{3e^{1}}{2}\left(2-1\right)$$
$$f\left(\frac{e^{1}}{2}\right)=\frac{3e^{1}}{2}$$