Limites - Exercice 3

8 min
20
Déterminer les limites suivantes.
Question 1

lim⁡x→+∞5x3−2ln⁡(x){\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty }} 5x^{3} -2\ln \left(x\right)

Correction
lim⁡x→+∞5x3=+∞lim⁡x→+∞−2ln⁡(x)=−∞}\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to +\infty }5x^{3}} & {=} & {+\infty } \\ {\lim\limits_{x\to +\infty } -2\ln \left(x\right)} & {=} & {-\infty } \end{array}\right\}
Nous rencontrons une forme indeˊtermineˊe.\blue{\text{Nous rencontrons une forme indéterminée.}}
Pour lever cette indétermination, nous allons factoriser par le plus fort c'est à dire ici x3x^{3}.
Lorsque nous avons une forme indéterminée en +∞+\infty, nous factorisons en priorité par les exponentielles, et s'il n'y en a pas alors nous factorisons par le monôme de plus en haut degré c'est à dire soit xx ou x2x^{2} ou x3x^{3}...
Ainsi :
lim⁡x→+∞5x3−2ln⁡(x)=lim⁡x→+∞x3(5x3−2ln⁡(x)x3){\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty }} 5x^{3} -2\ln \left(x\right)={\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty }} x^{3} \left(\frac{5x^{3} -2\ln \left(x\right)}{x^{3} } \right)
lim⁡x→+∞5x3−2ln⁡(x)=lim⁡x→+∞x3(5x3x3−2ln⁡(x)x3){\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty }} 5x^{3} -2\ln \left(x\right)={\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty }} x^{3} \left(\frac{5x^{3} }{x^{3} } -\frac{2\ln \left(x\right)}{x^{3} } \right)
lim⁡x→+∞5x3−2ln⁡(x)=lim⁡x→+∞x3(5−2ln⁡(x)x3){\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty }} 5x^{3} -2\ln \left(x\right)={\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty }} x^{3} \left(5-\frac{2\ln \left(x\right)}{x^{3} } \right)
    Pour tout nombre entier nn strictement positif, on a :
  • lim⁡x→+∞ln⁡(x)xn=0\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{\ln \left(x\right)}{x^{n} }=0
    • D'après le rappel, on a : lim⁡x→+∞ln⁡(x)x3=0\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{\ln \left(x\right)}{x^{3} }=0 . Il vient alors que :
    lim⁡x→+∞x3=+∞lim⁡x→+∞5−2ln⁡(x)x3=5}par produit\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to +\infty } x^{3}} & {=} & {+\infty } \\ {\lim\limits_{x\to +\infty } 5-\dfrac{2\ln \left(x\right)}{x^{3} }} & {=} & {5 } \end{array}\right\}{\red{\text{par produit}}}
    lim⁡x→+∞x3(5−2ln⁡(x)x3)=+∞{\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty }} x^{3} \left(5-\frac{2\ln \left(x\right)}{x^{3} } \right)=+\infty

    Finalement :
    lim⁡x→+∞5x3−2ln⁡(x)=+∞{\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty }} 5x^{3} -2\ln \left(x\right)=+\infty

    Question 2

    lim⁡x→+∞3ln⁡(x)−5x4+6x−1{\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty }} 3\ln \left(x\right)-5x^{4} +6x-1

    Correction
    lim⁡x→+∞−5x4−1=−∞lim⁡x→+∞3ln⁡(x)+6x=+∞}\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to +\infty }-5x^{4}-1} & {=} & {-\infty } \\ {\lim\limits_{x\to +\infty } 3\ln \left(x\right)+6x} & {=} & {+\infty } \end{array}\right\}
    Nous rencontrons une forme indeˊtermineˊe.\blue{\text{Nous rencontrons une forme indéterminée.}}
    Pour relever cette indétermination, nous allons factoriser par le plus fort c'est à dire ici x4x^{4}.
    Lorsque nous avons une forme indéterminée en +∞+\infty, nous factorisons en priorité par les exponentielles, et s'il n'y en a pas alors nous factorisons par le monôme de plus en haut degré c'est à dire soit xx ou x2x^{2} ou x3x^{3}...
    Ainsi :
    lim⁡x→+∞3ln⁡(x)−5x4+6x−1=lim⁡x→+∞x4(3ln⁡(x)−5x4+6x−1x4){\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty }} 3\ln \left(x\right)-5x^{4} +6x-1={\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty }} x^{4} \left(\frac{3\ln \left(x\right)-5x^{4} +6x-1}{x^{4} } \right)
    lim⁡x→+∞3ln⁡(x)−5x4+6x−1=lim⁡x→+∞x4(3ln⁡(x)x4−5x4x4+6xx4−1x4){\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty }} 3\ln \left(x\right)-5x^{4} +6x-1={\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty }} x^{4} \left(\frac{3\ln \left(x\right)}{x^{4} } -\frac{5x^{4} }{x^{4} } +\frac{6x}{x^{4} } -\frac{1}{x^{4} } \right)
    lim⁡x→+∞3ln⁡(x)−5x4+6x−1=lim⁡x→+∞x4(3ln⁡(x)x4−5+6x3−1x4){\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty }} 3\ln \left(x\right)-5x^{4} +6x-1={\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty }} x^{4} \left(\frac{3\ln \left(x\right)}{x^{4} } -5+\frac{6}{x^{3} } -\frac{1}{x^{4} } \right)
      Pour tout nombre entier nn strictement positif, on a :
  • lim⁡x→+∞ln⁡(x)xn=0\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{\ln \left(x\right)}{x^{n} }=0
    • D'après le rappel, on a : lim⁡x→+∞ln⁡(x)x4=0\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{\ln \left(x\right)}{x^{4} }=0 . Il vient alors que :
    lim⁡x→+∞x4=+∞lim⁡x→+∞3ln⁡(x)x4−5+6x3−1x4=−5}par produit\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to +\infty } x^{4}} & {=} & {+\infty } \\ {\lim\limits_{x\to +\infty } \dfrac{3\ln \left(x\right)}{x^{4} } -5+\dfrac{6}{x^{3} } -\dfrac{1}{x^{4} }} & {=} & {-5 } \end{array}\right\}{\red{\text{par produit}}}
    lim⁡x→+∞x4(3ln⁡(x)x4−5+6x3−1x4)=−∞{\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty }} x^{4} \left(\frac{3\ln \left(x\right)}{x^{4} } -5+\frac{6}{x^{3} } -\frac{1}{x^{4} } \right)=-\infty

    Finalement :
    lim⁡x→+∞3ln⁡(x)−5x4+6x−1=−∞{\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty }} 3\ln \left(x\right)-5x^{4} +6x-1=-\infty

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