Logarithme, primitives et suites - Exercice 2

Il en résulte donc que : $$\lim\limits_{x\to +\infty }f\left(x\right) =\lim\limits_{x\to +\infty }\frac{1}{x}\ln \left(x\right)=\lim\limits_{x\to +\infty }\frac{\ln \left(x\right)}{x}=0$$.
La courbe $$C$$ admet la droite d’équation $$y=0$$ comme asymptote horizontale en $$+\infty$$.

Soit $$f\left(x\right)=\frac{1}{x}\ln \left(x\right)$$ que nous pouvons également écrire $$f\left(x\right)=\frac{\ln \left(x\right)}{x}$$
$$f$$ est dérivable sur $$\left[1;+\infty \right[$$.
La fonction $$f$$ est définie si et seulement si $$x>0$$.
De plus $$f$$ est dérivable sur $$\left]0;+\infty \right[$$.
Ici on reconnaît la forme $$\left(\frac{u}{v} \right)^{'} =\frac{u'v-uv'}{v^{2} }$$ avec $$u\left(x\right)=\ln \left(x\right)$$ et $$v\left(x\right)=x$$.
Ainsi $$u'\left(x\right)=\frac{1}{x}$$ et $$v'\left(x\right)=1$$.
Il vient alors que $$f'\left(x\right)=\frac{\frac{1}{x} \times x-\ln \left(x\right)}{x^{2} } \Leftrightarrow$$

Nous savons que : $$f'\left(x\right)=\frac{1-\ln \left(x\right)}{x^{2} }$$
Pour tout $$x\in\left[1;+\infty \right[$$, $$x^{2}>0$$ donc le signe de $$f'$$ dépend de $$1-\ln \left(x\right)$$.
$$1-\ln \left(x\right)\ge 0\Leftrightarrow -\ln \left(x\right)\ge -1\Leftrightarrow \ln \left(x\right)\le 1\Leftrightarrow \ln \left(x\right)\le \ln \left(e\right) \Leftrightarrow x\le e$$
Il en résulte donc que :

• si $$x\in\left[1;e\right]$$ alors $$f'\left(x\right)\ge0$$ et donc $$f$$ est croissante sur cet intervalle.
• si $$x\in\left[e;+\infty\right[$$ alors $$f'\left(x\right)\le0$$ et donc $$f$$ est décroissante sur cet intervalle.

Nous traduisons toutes ces informations dans le tableau de variation ci-dessous :

Nous allons commencer par calculer une primitive de la fonction $$f\left(x\right)=\frac{1}{x}\ln \left(x\right)$$ . Il vient alors que :
Ainsi :
$$u_{0} =\int _{1}^{2}\frac{1}{x } \ln \left(x\right)dx$$
$$u_{0} =\left[\frac{1}{2} \left(\ln \left(x\right)\right)^{2} \right]_{1}^{2}$$
$$u_{0} =\frac{1}{2} \left(\ln \left(2\right)\right)^{2} -\frac{1}{2} \left(\ln \left(1\right)\right)^{2}$$

Pour tout réel $$x\in\left[1;2\right]$$, on a :
$$1\le x\le 2$$ équivaut successivement à :
$$\ln \left(1\right)\le \ln \left(x\right)\le \ln \left(2\right)$$ car la fonction $$x\mapsto \ln \left(x\right)$$ est croissante sur l'intervalle $$\left[1;2\right]$$
$$0\le \ln \left(x\right)\le \ln \left(2\right)$$
$$0\times\frac{1}{x^{n+1} }\le \frac{1}{x^{n+1} }\times\ln \left(x\right)\le \frac{1}{x^{n+1} }\times\ln \left(2\right)$$ car $$\frac{1}{x^{n+1} } >0$$ sur l'intervalle $$\left[1;2\right]$$
Ainsi :

Pour tout réel $$x\in\left[1;2\right]$$, d'après la question $$5$$, on a : $$0\le \frac{1}{x^{n+1} } \ln \left(x\right)\le \frac{1}{x^{n+1} } \ln \left(2\right)$$.
D'après la positivité de l'intégrale, on a :
$$\int _{1}^{2}0dx \le \int _{1}^{2}\frac{1}{x^{n+1} } \ln \left(x\right)dx \le \int _{1}^{2}\frac{1}{x^{n+1} } \ln \left(2\right)dx$$
$$0\le u_{n} \le \int _{1}^{2}\frac{1}{x^{n+1} } \ln \left(2\right)dx$$
Il nous faut donc calculer : $$\int _{1}^{2}\frac{1}{x^{n+1} } \ln \left(2\right)dx$$
Ainsi :
$$\int _{1}^{2}\frac{1}{x^{n+1} } \ln \left(2\right)dx =\ln \left(2\right)\int _{1}^{2}\frac{1}{x^{n+1} } dx$$
Pour tout entier naturel $$n$$, la fonction $$x\mapsto \frac{1}{x^{n+1} }$$ a pour primitive la fonction $$x\mapsto -\frac{1}{nx^{n} }$$.
Il en résulte donc que :
$$\ln \left(2\right)\int _{1}^{2}\frac{1}{x^{n+1} } dx =\ln \left(2\right)\times \left[-\frac{1}{nx^{n} } \right]_{1}^{2}$$
$$\ln \left(2\right)\int _{1}^{2}\frac{1}{x^{n+1} } dx =\ln \left(2\right)\times \left(-\frac{1}{n\times 2^{n} } -\left(-\frac{1}{n\times 1^{n} } \right)\right)$$
$$\ln \left(2\right)\int _{1}^{2}\frac{1}{x^{n+1} } dx =\ln \left(2\right)\times \left(-\frac{1}{n\times 2^{n} } +\frac{1}{n} \right)$$ Nous allons factoriser maintenant l'expression par $$\frac{1}{n}$$ .
$$\ln \left(2\right)\int _{1}^{2}\frac{1}{x^{n+1} } dx =\ln \left(2\right)\times \frac{1}{n} \times \left(1-\frac{1}{2^{n} } \right)$$
$$\ln \left(2\right)\int _{1}^{2}\frac{1}{x^{n+1} } dx =\frac{\ln \left(2\right)}{n} \times \left(1-\frac{1}{2^{n} } \right)$$
Finalement :
pour tout entier naturel $$n$$, on a :

$$\lim\limits_{n\to +\infty } \frac{\ln \left(2\right)}{n}=0$$
$$\lim\limits_{n\to +\infty } 2^{n}=+\infty$$ et donc $$\lim\limits_{n\to +\infty } 1-\frac{1}{2^{n} }=1$$
Par produit :
Pour tout entier naturel $$n$$, on a : $$0\le u_{n} \le \frac{\ln \left(2\right)}{n} \left(1-\frac{1}{2^{n} } \right)$$ et $$\lim\limits_{n\to +\infty } \frac{\ln \left(2\right)}{n} \left(1-\frac{1}{2^{n} } \right)=0$$
D’après le théorème des gendarmes, que la suite $$\left(u_{n}\right)$$ est convergente et a pour limite $$0$$.