Résoudre une équation avec des logarithmes - Exercice 1

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Pour chaque question, préciser l'ensemble de résolution de l'équation puis la résoudre.
Question 1

ln⁡x=6\ln x=6

Correction
Soient AA et BB deux réels strictements positifs.
  • ln⁡(A)=ln⁡(B)⇔A=B\ln \left(A\right)=\ln \left(B\right)\Leftrightarrow A=B
  • ln⁡(eA)=A\ln \left(e^{A} \right)=A
    • L'équation est définie si et seulement si x>0x>0
    Ainsi le domaine de définition est :
    Df=]0;+∞[D_{f} =\left]0 ;+\infty \right[

    ln⁡x=6\ln x=6 équivaut successivement à :
    ln⁡x=ln⁡(e6)\ln x=\ln \left(e^{6} \right) car ln⁡(ea)=a\ln \left(e^{a} \right)=a
    x=e6x=e^{6}
    Or e6∈]0;+∞[e^{6} \in \left]0;+\infty \right[, donc la solution de l'équation est :
    S={e6}S=\left\{e^{6} \right\}

    Question 2

    2ln⁡x+4=02\ln x+4=0

    Correction
    Soient AA et BB deux réels strictements positifs.
  • ln⁡(A)=ln⁡(B)⇔A=B\ln \left(A\right)=\ln \left(B\right)\Leftrightarrow A=B
  • ln⁡(eA)=A\ln \left(e^{A} \right)=A
    • L'équation est définie si et seulement si x>0x>0
    Ainsi le domaine de définition est :
    Df=]0;+∞[D_{f} =\left]0 ;+\infty \right[

    2ln⁡x+4=02\ln x+4=0 équivaut successivement à :
    2ln⁡x=−42\ln x=-4
    ln⁡x=−2\ln x=-2
    ln⁡x=ln⁡(e−2)\ln x=\ln \left(e^{-2} \right) car ln⁡(ea)=a\ln \left(e^{a} \right)=a
    x=e−2x=e^{-2}
    Or e−2∈]0;+∞[e^{-2} \in \left]0;+\infty \right[, donc la solution de l'équation est :
    S={e−2}S=\left\{e^{-2} \right\}

    Question 3

    ln⁡x=−5\ln x=-5

    Correction
    Soient AA et BB deux réels strictements positifs.
  • ln⁡(A)=ln⁡(B)⇔A=B\ln \left(A\right)=\ln \left(B\right)\Leftrightarrow A=B
  • ln⁡(eA)=A\ln \left(e^{A} \right)=A
    • L'équation est définie si et seulement si x>0x>0
    Ainsi le domaine de définition est :
    Df=]0;+∞[D_{f} =\left]0 ;+\infty \right[

    ln⁡x=−5\ln x=-5 équivaut successivement à :
    ln⁡x=ln⁡(e−5)\ln x=\ln \left(e^{-5} \right) car ln⁡(ea)=a\ln \left(e^{a} \right)=a
    x=e−5x=e^{-5}
    Or e−5∈]0;+∞[e^{-5} \in \left]0;+\infty \right[, donc la solution de l'équation est :
    S={e−5}S=\left\{e^{-5} \right\}

    Question 4

    −5ln⁡(x)+3=2ln⁡(x)+10-5\ln \left(x\right)+3=2\ln \left(x\right)+10

    Correction
    Soient AA et BB deux réels strictements positifs.
  • ln⁡(A)=ln⁡(B)⇔A=B\ln \left(A\right)=\ln \left(B\right)\Leftrightarrow A=B
  • ln⁡(eA)=A\ln \left(e^{A} \right)=A
    • L'équation est définie si et seulement si x>0x>0
    Ainsi le domaine de définition est :
    Df=]0;+∞[D_{f} =\left]0 ;+\infty \right[

    −5ln⁡(x)+3=2ln⁡(x)+10-5\ln \left(x\right)+3=2\ln \left(x\right)+10 équivaut successivement à :
    −5ln⁡(x)−2ln⁡(x)=10−3-5\ln \left(x\right)-2\ln \left(x\right)=10-3
    −7ln⁡(x)=7-7\ln \left(x\right)=7
    ln⁡(x)=7−7\ln \left(x\right)=\frac{7}{-7}
    ln⁡(x)=−1\ln \left(x\right)=-1
    ln⁡x=ln⁡(e−1)\ln x=\ln \left(e^{-1} \right) car ln⁡(ea)=a\ln \left(e^{a} \right)=a
    x=e−1x=e^{-1}
    Or e−1∈]0;+∞[e^{-1} \in \left]0;+\infty \right[, donc la solution de l'équation est :
    S={e−1}S=\left\{e^{-1} \right\}

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