Résoudre une équation un peu sympathique - Exercice 1

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Question 1
Soit xx un réel strictement positif .

Résoudre l'équation suivante : ln⁡(x2)−ln⁡(x5e)+ln⁡(2)=ln⁡(2x)+5\ln \left(x^{2} \right)-\ln \left(\frac{x^{5} }{e} \right)+\ln \left(2\right)=\ln \left(2x\right)+5

Correction
  • ln⁡(a)+ln⁡(b)=ln⁡(a×b)\ln \left(a\right)+\ln \left(b\right)=\ln \left(a\times b\right)
  • ln⁡(a)−ln⁡(b)=ln⁡(ab)\ln \left(a\right)-\ln \left(b\right)=\ln \left(\frac{a}{b} \right)
  • ln⁡(1a)=−ln⁡(a)\ln \left(\frac{1}{a} \right)=-\ln \left(a\right)
  • ln⁡(an)=nln⁡(a)\ln \left(a^{n} \right)=n\ln \left(a\right)
  • 12ln⁡(a)=ln⁡(a)\frac{1}{2} \ln \left(a\right)=\ln \left(\sqrt{a} \right)
  • eln⁡a=ae^{\ln a} =a
ln⁡(x2)−ln⁡(x5e)+ln⁡(2)=ln⁡(2x)+5\ln \left(x^{2} \right)-\ln \left(\frac{x^{5} }{e} \right)+\ln \left(2\right)=\ln \left(2x\right)+5 équivaut successivement à :
ln⁡(x2)−(ln⁡(x5)−ln⁡(e))+ln⁡(2)=ln⁡(2x)+5\ln \left(x^{2} \right)-\left(\ln \left(x^{5} \right)-\ln \left(e\right)\right)+\ln \left(2\right)=\ln \left(2x\right)+5
ln⁡(x2)−(ln⁡(x5)−1)+ln⁡(2)=ln⁡(2x)+5\ln \left(x^{2} \right)-\left(\ln \left(x^{5} \right)-1\right)+\ln \left(2\right)=\ln \left(2x\right)+5
ln⁡(x2)−ln⁡(x5)+1+ln⁡(2)=ln⁡(2x)+5\ln \left(x^{2} \right)-\ln \left(x^{5} \right)+1+\ln \left(2\right)=\ln \left(2x\right)+5
2ln⁡(x)−5ln⁡(x)+1+ln⁡(2)=ln⁡(2x)+52\ln \left(x\right)-5\ln \left(x\right)+1+\ln \left(2\right)=\ln \left(2x\right)+5
−3ln⁡(x)+1+ln⁡(2)=ln⁡(2x)+5-3\ln \left(x\right)+1+\ln \left(2\right)=\ln \left(2x\right)+5
−3ln⁡(x)+1+ln⁡(2)=ln⁡(2)+ln⁡(x)+5-3\ln \left(x\right)+1+\ln \left(2\right)=\ln \left(2\right)+\ln \left(x\right)+5
−3ln⁡(x)+1+ln⁡(2)−ln⁡(2)−ln⁡(x)−5=0-3\ln \left(x\right)+1+\ln \left(2\right)-\ln \left(2\right)-\ln \left(x\right)-5=0
−4ln⁡(x)−4=0-4\ln \left(x\right)-4=0
−4ln⁡(x)=4-4\ln \left(x\right)=4
ln⁡(x)=4−4\ln \left(x\right)=\frac{4}{-4}
ln⁡(x)=−1\ln \left(x\right)=-1
eln⁡(x)=e−1e^{\ln \left(x\right)} =e^{-1}
x=e−1x=e^{-1}

La solution de l'équation est : S={e−1}S=\left\{e^{-1} \right\}

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