Variations - Exercice 1

$$f$$ est dérivable sur $$\left]0;+\infty \right[$$.
$$f'\left(x\right)=\frac{3}{x} +2$$ . Nous allons tout mettre au même dénominateur .
$$f'\left(x\right)=\frac{3}{x} +\frac{2x}{x}$$
$$f'\left(x\right)=\frac{3+2x}{x}$$
$$3+2x\ge 0\Leftrightarrow 2x\ge -3 \Leftrightarrow x\ge\frac{-3}{2}$$
Cela signifie que l'on mettra le signe $$+$$ pour le signe de $$3+2x$$ dès que $$x\ge \frac{-3}{2}$$ . Or nous travaillons sur l'intervalle $$\left]0;+\infty \right[$$. Cela signifie donc que $$f'$$ est positive sur $$\left]0;+\infty \right[$$ .

$$f$$ est dérivable sur $$\left]0;+\infty \right[$$.
$$f'\left(x\right)=-\frac{1}{x} +1$$ . Nous allons tout mettre au même dénominateur .
$$f'\left(x\right)=-\frac{1}{x} +\frac{x}{x}$$
$$f'\left(x\right)=\frac{-1+x}{x}$$
$$-1+x\ge 0\Leftrightarrow x\ge 1$$
Cela signifie que l'on mettra le signe $$+$$ pour le signe de $$-1+x$$ dès que $$x\ge 1$$

$$f'\left(x\right)=\frac{4}{x} -4x$$ (ensuite toujours mettre au même dénominateur)
$$f'\left(x\right)=\frac{4}{x} -\frac{4x^{2} }{x}$$
Ainsi : $$f'\left(x\right)=\frac{4-4x^{2} }{x}$$
Comme on travaille sur l'intervalle $$I=\left]0;+\infty \right[$$ alors le dénominateur est strictement positif.
Il en résulte que le signe de $$f'$$ dépend du numérateur $$4-4x^{2}$$.
$$4-4x^{2}$$ est une équation du second degré, pour étudier son signe on va utiliser le discriminant .
On donnera directement les résultats : $$\Delta =64$$ ; $$x_{1} =-1$$ et $$x_{2} =1$$ .
Comme $$a=-4<0$$, la parabole est tournée vers le bas c'est-à-dire que $$f$$ est du signe de $$a$$ à l'extérieur des racines et du signe opposé à $$a$$ entre les racines.
Pour nous aider on va donner pour le moment le signe de $$4-4x^{2}$$ sur $$\left]-\infty ;+\infty \right[$$ (vous ne devrez en aucun cas le faire sur votre copie c'est juste pour nous aider)
On n'oublie pas que nous devons étudier les variations de $$f$$ sur $$I=\left]0;+\infty \right[$$.
On en déduit maintenant le tableau de variation de $$f$$ sur $$I=\left]0;+\infty \right[$$ :

$$f$$ est dérivable sur $$\left]0;+\infty \right[$$.
On reconnaît la forme $$\left(uv\right)'=u'v+uv'$$ avec $$u\left(x\right)=x$$ et $$v\left(x\right)=\ln \left(x\right)$$.
Ainsi $$u'\left(x\right)=1$$ et $$v'\left(x\right)=\frac{1}{x}$$.
Il vient alors que :
$$f'\left(x\right)=1\times \ln \left(x\right)+x\times \frac{1}{x}$$
$$f'\left(x\right)= \ln \left(x\right)+ \frac{x}{x}$$
Ainsi :
$$\ln \left(x\right)+1\ge 0\Leftrightarrow \ln \left(x\right)\ge -1\Leftrightarrow \ln \left(x\right)\ge \ln \left(e^{-1} \right)\Leftrightarrow x\ge e^{-1}$$
Cela signifie que l'on mettra le signe $$+$$ pour le signe de $$\ln \left(x\right)+1$$ dès que $$x\ge e^{-1}$$

$$f$$ est dérivable sur $$\left]0;+\infty \right[$$.
On reconnaît la forme $$\left(\frac{u}{v} \right)^{'} =\frac{u'v-uv'}{v^{2} }$$ avec $$u\left(x\right)=\ln \left(x\right)$$ et $$v\left(x\right)=2x$$.
Ainsi $$u'\left(x\right)=\frac{1}{x}$$ et $$v'\left(x\right)=2$$.
Il vient alors que :
$$f'\left(x\right)=\frac{\frac{1}{x} \times \left(2x\right)-2\ln \left(x\right)}{\left(2x\right)^{2} }$$
$$f'\left(x\right)=\frac{\frac{2x}{x} -2\ln \left(x\right)}{\left(2x\right)^{2} }$$
Ainsi :
Comme $$x\in \left]0;+\infty \right[$$ alors $$\left(2x\right)^{2}>0$$ et donc le signe de $$f'$$ dépend de $$2-2\ln \left(x\right)$$
$$2-2\ln \left(x\right)\ge 0\Leftrightarrow -2\ln \left(x\right)\ge -2\Leftrightarrow \ln \left(x\right)\le \frac{-2}{-2} \Leftrightarrow\ln \left(x\right)\le 1\Leftrightarrow \ln \left(x\right)\le \ln \left(e^{1} \right)\Leftrightarrow x\le e^{1}$$
Cela signifie que l'on mettra le signe $$+$$ pour le signe de $$2-2\ln \left(x\right)$$ dès que $$x\le e^{1}$$

Pour effectuer la dérivée de $$\left(\ln \left(x\right)\right)^{2}$$, nous allons utiliser le rappel.
Notons $$g\left(x\right)=\left(\ln \left(x\right)\right)^{2}$$, il en résulte donc que : $$g'\left(x\right)= 2\times \frac{1}{x} \times \ln \left(x\right)$$ .
Nous allons pouvoir maintenant calculer la dérivée de $$f$$. Ainsi :
$$f$$ est dérivable sur $$\left]0;+\infty \right[$$.
$$f'\left(x\right)=3\times 2\times \frac{1}{x} \times \ln \left(x\right)-\frac{6}{x}$$
$$f'\left(x\right)=\frac{6\ln \left(x\right)}{x} -\frac{6}{x}$$

Comme $$x\in \left]0;+\infty \right[$$ alors $$x>0$$ et donc le signe de $$f'$$ dépend de $$6\ln \left(x\right)-6$$ .
$$6\ln \left(x\right)-6\ge 0\Leftrightarrow 6\ln \left(x\right)\ge 6\Leftrightarrow \ln \left(x\right)\ge \frac{6}{6} \Leftrightarrow \ln \left(x\right)\ge 1\Leftrightarrow \ln \left(x\right)\ge \ln \left(e^{1} \right)\Leftrightarrow x\ge e^{1}$$
Cela signifie que l'on mettra le signe $$+$$ pour le signe de $$6\ln \left(x\right)-6$$ dès que $$x\ge e^{1}$$

$$f$$ est dérivable sur $$\left]0;+\infty \right[$$.
On reconnaît la forme $$\left(uv+w\right)'=\left(u'v+uv'+w'\right)$$ avec $$u\left(x\right)=3x$$ ; $$v\left(x\right)=\ln \left(x\right)$$ et $$w\left(x\right)=-7x$$ .
Ainsi $$u'\left(x\right)=3$$ ; $$v'\left(x\right)=\frac{1}{x}$$ et $$w'\left(x\right)=-7$$.
Il vient alors que :
$$f'\left(x\right)=3\ln \left(x\right)+3x\times \frac{1}{x} -7$$
$$f'\left(x\right)=3\ln \left(x\right)+\frac{3x}{x} -7$$
$$f'\left(x\right)=3\ln \left(x\right)+3-7$$

Le signe de $$f'$$ dépend donc de $$3\ln \left(x\right)-4$$ .
$$3\ln \left(x\right)-4\ge 0\Leftrightarrow 3\ln \left(x\right)\ge 4\Leftrightarrow \ln \left(x\right)\ge \frac{4}{3}\Leftrightarrow\ln \left(x\right)\ge \ln \left(e^{\frac{4}{3}} \right)\Leftrightarrow x\ge e^{\frac{4}{3}}$$
Cela signifie que l'on mettra le signe $$+$$ pour le signe de $$3\ln \left(x\right)-4$$ dès que $$x\ge e^{\frac{4}{3}}$$

$$f$$ est dérivable sur $$\left]0;+\infty \right[$$.On reconnaît ici $$u^{n}$$ où $$u\left(x\right)=\ln \left(x\right)+4$$ et $$n=2$$. Ainsi $$u'\left(x\right)=\frac{1}{x}$$.
Il en résulte que :
$$f'\left(x\right)=2\times \frac{1}{x} \times \left(\ln \left(x\right)+4\right)$$
Finalement :
Pour tout réel $$x\in \left]0;+\infty \right[$$ , on vérifie aisément que $$2>0$$ et $$x>0$$. Il en résulte donc que le signe de $$f'$$ dépend de $$\ln \left(x\right)+4$$.
$$\ln \left(x\right)+4\ge 0\Leftrightarrow \ln \left(x\right)\ge -4\Leftrightarrow \ln \left(x\right)\ge \ln \left(e^{-4} \right)\Leftrightarrow x\ge e^{-4}$$
Cela signifie que l'on mettra le signe $$+$$ pour le signe de $$f'$$ dès que $$x\ge e^{-4}$$ .