Variations - Exercice 2

$$f$$ est dérivable sur $$\left]1;+\infty \right[$$.
On reconnaît la forme $$\left(w-uv\right)'=w-\left(u'v+uv'\right)$$ avec $$w\left(x\right)=2x$$ ; $$u\left(x\right)=x-1$$ et $$v\left(x\right)=\ln \left(x-1\right)$$.
Ainsi $$w'\left(x\right)=2$$ ; $$u'\left(x\right)=1$$ et $$v'\left(x\right)=\frac{1}{x-1}$$.
Il vient alors que :
$$f'\left(x\right)=2-\left[1\times \ln \left(x-1\right)+\left(x-1\right)\times \frac{1}{x-1} \right]$$
$$f'\left(x\right)=2-\left[\ln \left(x-1\right)+\frac{x-1}{x-1} \right]$$
$$f'\left(x\right)=2-\left[\ln \left(x-1\right)+1\right]$$
$$f'\left(x\right)=2-\ln \left(x-1\right)-1$$

Etudions le signe de $$f'$$. D'après la question précédente, nous avons vu que $$f'\left(x\right)=1-\ln \left(x-1\right)$$ .
$$f'\left(x\right)\ge0$$ équivaut successivement à :
$$1-\ln \left(x-1\right)\ge 0$$
$$-\ln \left(x-1\right)\ge -1$$
$$\ln \left(x-1\right)\le 1$$
$$e^{\ln \left(x-1\right)} \le e^{1}$$
$$x-1\le e$$
$$x\le e+1$$
Il en résulte donc que :

• si $$x\in\left]1;e+1\right]$$ alors $$f'\left(x\right)\ge0$$
• si $$x\in\left[e+1;+\infty\right[$$ alors $$f'\left(x\right)\le0$$

Nous traduisons cela dans un tableau de variation, il vient alors que :