Dérivées - Exercice 1

25 min
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Déterminer l'expression des dérivées des fonctions suivantes.
Question 1

f(x)=2x−1+sin⁡(x)f\left(x\right)=2x-1+\sin \left(x\right)

Correction
  • (sin⁡(x))′=cos⁡(x)\left(\sin \left(x\right)\right)^{'} =\cos \left(x\right) et (cos⁡(x))′=−sin⁡(x)\left(\cos \left(x\right)\right)^{'} =-\sin \left(x\right)
  • (sin⁡(ax+b))′=acos⁡(ax+b)\left(\sin \left(ax+b\right)\right)^{'} =a\cos \left(ax+b\right) et (cos⁡(ax+b))′=−asin⁡(ax+b)\left(\cos \left(ax+b\right)\right)^{'} =-a\sin \left(ax+b\right)
    • ff est dérivable sur R\mathbb{R}
    f′(x)=2+cos⁡(x)f'\left(x\right)=2+\cos \left(x\right)
    Question 2

    f(x)=−x3−2sin⁡(x)f\left(x\right)=-x^{3} -2\sin \left(x\right)

    Correction
  • (sin⁡(x))′=cos⁡(x)\left(\sin \left(x\right)\right)^{'} =\cos \left(x\right) et (cos⁡(x))′=−sin⁡(x)\left(\cos \left(x\right)\right)^{'} =-\sin \left(x\right)
  • (sin⁡(ax+b))′=acos⁡(ax+b)\left(\sin \left(ax+b\right)\right)^{'} =a\cos \left(ax+b\right) et (cos⁡(ax+b))′=−asin⁡(ax+b)\left(\cos \left(ax+b\right)\right)^{'} =-a\sin \left(ax+b\right)
    • ff est dérivable sur R\mathbb{R}
    f′(x)=−3x2−2cos⁡(x)f'\left(x\right)=-3x^{2} -2\cos \left(x\right)
    Question 3

    f(x)=xcos⁡(x)f\left(x\right)=x\cos \left(x\right)

    Correction
  • (sin⁡(x))′=cos⁡(x)\left(\sin \left(x\right)\right)^{'} =\cos \left(x\right) et (cos⁡(x))′=−sin⁡(x)\left(\cos \left(x\right)\right)^{'} =-\sin \left(x\right)
  • (sin⁡(ax+b))′=acos⁡(ax+b)\left(\sin \left(ax+b\right)\right)^{'} =a\cos \left(ax+b\right) et (cos⁡(ax+b))′=−asin⁡(ax+b)\left(\cos \left(ax+b\right)\right)^{'} =-a\sin \left(ax+b\right)
    • ff est dérivable sur R\mathbb{R}
    On reconnaît la forme (uv)′=u′v+uv′\left(uv\right)'=u'v+uv' avec u(x)=xu\left(x\right)=x et v(x)=cos⁡(x)v\left(x\right)=\cos \left(x\right).
    Ainsi u′(x)=1u'\left(x\right)=1 et v′(x)=−sin⁡(x)v'\left(x\right)=-\sin \left(x\right).
    Il vient que :
    f′(x)=1×cos⁡(x)+x×(−sin⁡(x))f'\left(x\right)=1\times \cos \left(x\right)+x\times \left(-\sin \left(x\right)\right)
    f′(x)=cos⁡(x)−xsin⁡(x)f'\left(x\right)=\cos \left(x\right)-x\sin \left(x\right)
    Question 4

    f(x)=cos⁡(x)sin⁡(x)f\left(x\right)=\cos \left(x\right)\sin \left(x\right)

    Correction
  • (sin⁡(x))′=cos⁡(x)\left(\sin \left(x\right)\right)^{'} =\cos \left(x\right) et (cos⁡(x))′=−sin⁡(x)\left(\cos \left(x\right)\right)^{'} =-\sin \left(x\right)
  • (sin⁡(ax+b))′=acos⁡(ax+b)\left(\sin \left(ax+b\right)\right)^{'} =a\cos \left(ax+b\right) et (cos⁡(ax+b))′=−asin⁡(ax+b)\left(\cos \left(ax+b\right)\right)^{'} =-a\sin \left(ax+b\right)
    • ff est dérivable sur R\mathbb{R}
    On reconnaît la forme (uv)′=u′v+uv′\left(uv\right)'=u'v+uv' avec u(x)=cos⁡(x)u\left(x\right)=\cos \left(x\right) et v(x)=sin⁡(x)v\left(x\right)=\sin \left(x\right).
    Ainsi u′(x)=−sin⁡(x)u'\left(x\right)=-\sin \left(x\right) et v′(x)=cos⁡(x)v'\left(x\right)=\cos \left(x\right).
    Il vient alors que :
    f′(x)=−sin⁡(x)×sin⁡(x)+cos⁡(x)×cos⁡(x)f'\left(x\right)=-\sin \left(x\right)\times\sin \left(x\right)+\cos \left(x\right)\times\cos \left(x\right)
    Finalement :
    f′(x)=−sin⁡2(x)+cos⁡2(x)f'\left(x\right)=-\sin ^{2} \left(x\right)+\cos ^{2} \left(x\right)
    Question 5

    f(x)=sin⁡(x)cos⁡(x)f\left(x\right)=\frac{\sin \left(x\right)}{\cos \left(x\right)} . On suppose que ff est dérivable sur un Intervalle II que l'on ne cherchera pas à déterminer.

    Correction
  • (sin⁡(x))′=cos⁡(x)\left(\sin \left(x\right)\right)^{'} =\cos \left(x\right) et (cos⁡(x))′=−sin⁡(x)\left(\cos \left(x\right)\right)^{'} =-\sin \left(x\right)
  • (sin⁡(ax+b))′=acos⁡(ax+b)\left(\sin \left(ax+b\right)\right)^{'} =a\cos \left(ax+b\right) et (cos⁡(ax+b))′=−asin⁡(ax+b)\left(\cos \left(ax+b\right)\right)^{'} =-a\sin \left(ax+b\right)
    • ff est dérivable sur II.
    On reconnaît la forme (uv)′=u′v−uv′v2\left(\frac{u}{v} \right)^{'} =\frac{u'v-uv'}{v^{2} } avec u(x)=sin⁡(x)u\left(x\right)=\sin \left(x\right) et v(x)=cos⁡(x)v\left(x\right)=\cos \left(x\right).
    Ainsi u′(x)=cos⁡(x)u'\left(x\right)=\cos \left(x\right) et v′(x)=−sin⁡(x)v'\left(x\right)=-\sin \left(x\right).
    Il vient alors que :
    f′(x)=cos⁡(x)×cos⁡(x)−sin⁡x×(−sin⁡(x))cos⁡2(x)f'\left(x\right)=\frac{\cos \left(x\right)\times \cos \left(x\right)-\sin x\times \left(-\sin \left(x\right)\right)}{\cos ^{2} \left(x\right)}
    f′(x)=cos⁡2(x)+sin⁡2(x)cos⁡2(x)f'\left(x\right)=\frac{\cos ^{2} \left(x\right)+\sin ^{2} \left(x\right)}{\cos ^{2} \left(x\right)}
    cos⁡2(x)+sin⁡2(x)=1\cos ^{2} \left(x\right)+\sin ^{2} \left(x\right)=1
    Ainsi :
    f′(x)=1cos⁡2(x)f'\left(x\right)=\frac{1}{\cos ^{2} \left(x\right)}
    Question 6

    f(x)=cos⁡2(x)f\left(x\right)=\cos ^{2} \left(x\right)

    Correction
  • (sin⁡(x))′=cos⁡(x)\left(\sin \left(x\right)\right)^{'} =\cos \left(x\right) et (cos⁡(x))′=−sin⁡(x)\left(\cos \left(x\right)\right)^{'} =-\sin \left(x\right)
  • (sin⁡(ax+b))′=acos⁡(ax+b)\left(\sin \left(ax+b\right)\right)^{'} =a\cos \left(ax+b\right) et (cos⁡(ax+b))′=−asin⁡(ax+b)\left(\cos \left(ax+b\right)\right)^{'} =-a\sin \left(ax+b\right)
    • ff est dérivable sur R\mathbb{R}
    On reconnaît la forme (un)′=nu′un−1\left(u^{n} \right)^{'} =nu'u^{n-1} avec u(x)=cos⁡(x)u\left(x\right)=\cos \left(x\right) et n=2n=2.
    Ainsi u′(x)=−sin⁡(x)u'\left(x\right)=-\sin \left(x\right)
    Il vient alors que
    f′(x)=−2sin⁡(x)cos⁡(x)f'\left(x\right)=-2\sin \left(x\right)\cos \left(x\right)
    Question 7

    f(x)=xsin⁡2(x)f\left(x\right)=x\sin ^{2} \left(x\right)

    Correction
  • (sin⁡(x))′=cos⁡(x)\left(\sin \left(x\right)\right)^{'} =\cos \left(x\right) et (cos⁡(x))′=−sin⁡(x)\left(\cos \left(x\right)\right)^{'} =-\sin \left(x\right)
  • (sin⁡(ax+b))′=acos⁡(ax+b)\left(\sin \left(ax+b\right)\right)^{'} =a\cos \left(ax+b\right) et (cos⁡(ax+b))′=−asin⁡(ax+b)\left(\cos \left(ax+b\right)\right)^{'} =-a\sin \left(ax+b\right)
    • ff est dérivable sur R\mathbb{R}
    On reconnaît la forme (uv)′=u′v+uv′\left(uv\right)'=u'v+uv' avec u(x)=xu\left(x\right)=x et v(x)=sin⁡2(x)v\left(x\right)=\sin ^{2} \left(x\right).
    Pour le calcul de la dérivée de vv, on utilisera la forme (un)′=nu′un−1\left(u^{n} \right)^{'} =nu'u^{n-1}
    Ainsi u′(x)=1u'\left(x\right)=1 et v′(x)=2cos⁡(x)sin⁡(x)v'\left(x\right)=2\cos \left(x\right)\sin \left(x\right)
    D'où
    f′(x)=sin⁡2(x)+2xcos⁡(x)sin⁡(x)f'\left(x\right)=\sin ^{2} \left(x\right)+2x\cos \left(x\right)\sin \left(x\right)
    Question 8

    f(x)=cos⁡(3x)f\left(x\right)=\cos \left(3x\right)

    Correction
  • (sin⁡(x))′=cos⁡(x)\left(\sin \left(x\right)\right)^{'} =\cos \left(x\right) et (cos⁡(x))′=−sin⁡(x)\left(\cos \left(x\right)\right)^{'} =-\sin \left(x\right)
  • (sin⁡(ax+b))′=acos⁡(ax+b)\left(\sin \left(ax+b\right)\right)^{'} =a\cos \left(ax+b\right) et (cos⁡(ax+b))′=−asin⁡(ax+b)\left(\cos \left(ax+b\right)\right)^{'} =-a\sin \left(ax+b\right)
    • ff est dérivable sur R\mathbb{R}
    f′(x)=−3sin⁡(3x)f'\left(x\right)=-3\sin \left(3x\right)
    Question 9

    f(x)=−2sin⁡(4x−π3)f\left(x\right)=-2\sin \left(4x-\frac{\pi }{3} \right)

    Correction
  • (sin⁡(x))′=cos⁡(x)\left(\sin \left(x\right)\right)^{'} =\cos \left(x\right) et (cos⁡(x))′=−sin⁡(x)\left(\cos \left(x\right)\right)^{'} =-\sin \left(x\right)
  • (sin⁡(ax+b))′=acos⁡(ax+b)\left(\sin \left(ax+b\right)\right)^{'} =a\cos \left(ax+b\right) et (cos⁡(ax+b))′=−asin⁡(ax+b)\left(\cos \left(ax+b\right)\right)^{'} =-a\sin \left(ax+b\right)
    • ff est dérivable sur R\mathbb{R}
    f′(x)=−2×4cos⁡(4x−π3)f'\left(x\right)=-2\times4\cos \left(4x-\frac{\pi }{3} \right)
    f′(x)=−8cos⁡(4x−π3)f'\left(x\right)=-8\cos \left(4x-\frac{\pi }{3} \right)
    Question 10

    f(x)=3x+2sin⁡(x)cos⁡(x)+2f\left(x\right)=\frac{3x+2\sin \left(x\right)}{\cos \left(x\right)+2}

    Correction
  • (sin⁡(x))′=cos⁡(x)\left(\sin \left(x\right)\right)^{'} =\cos \left(x\right) et (cos⁡(x))′=−sin⁡(x)\left(\cos \left(x\right)\right)^{'} =-\sin \left(x\right)
  • (sin⁡(ax+b))′=acos⁡(ax+b)\left(\sin \left(ax+b\right)\right)^{'} =a\cos \left(ax+b\right) et (cos⁡(ax+b))′=−asin⁡(ax+b)\left(\cos \left(ax+b\right)\right)^{'} =-a\sin \left(ax+b\right)
    • ff est dérivable sur R\mathbb{R}
    On reconnaît la forme (uv)′=u′v−uv′v2\left(\frac{u}{v} \right)^{'} =\frac{u'v-uv'}{v^{2} } avec u(x)=3x+2sin⁡(x)u\left(x\right)=3x+2\sin \left(x\right) et v(x)=cos⁡(x)+2v\left(x\right)=\cos \left(x\right)+2.
    Ainsi u′(x)=3+2cos⁡(x)u'\left(x\right)=3+2\cos \left(x\right) et v′(x)=−sin⁡(x)v'\left(x\right)=-\sin \left(x\right).
    Il vient alors que f′(x)=(3+2cos⁡(x))(cos⁡(x)+2)−(3x+2sin⁡(x))(−sin⁡(x))(cos⁡(x)+2)2f'\left(x\right)=\frac{\left(3+2\cos \left(x\right)\right)\left(\cos \left(x\right)+2\right)-\left(3x+2\sin \left(x\right)\right)\left(-\sin \left(x\right)\right)}{\left(\cos \left(x\right)+2\right)^{2} }
    Ainsi f′(x)=3cos⁡(x)+6+2cos⁡2(x)+4cos⁡(x)−(−3xsin⁡(x)−2sin⁡2(x))(cos⁡(x)+2)2f'\left(x\right)=\frac{3\cos \left(x\right)+6+2\cos ^{2} \left(x\right)+4\cos \left(x\right)-\left(-3x\sin \left(x\right)-2\sin ^{2} \left(x\right)\right)}{\left(\cos \left(x\right)+2\right)^{2} }
    Finalement :
    f′(x)=7cos⁡(x)+6+2cos⁡2(x)+3xsin⁡(x)+2sin⁡2(x)(cos⁡(x)+2)2f'\left(x\right)=\frac{7\cos \left(x\right)+6+2\cos ^{2} \left(x\right)+3x\sin \left(x\right)+2\sin ^{2} \left(x\right)}{\left(\cos \left(x\right)+2\right)^{2} }
    Question 11

    f(x)=2cos⁡(πx−3)f\left(x\right)=2\cos \left(\pi x-3\right)

    Correction
  • (sin⁡(x))′=cos⁡(x)\left(\sin \left(x\right)\right)^{'} =\cos \left(x\right) et (cos⁡(x))′=−sin⁡(x)\left(\cos \left(x\right)\right)^{'} =-\sin \left(x\right)
  • (sin⁡(ax+b))′=acos⁡(ax+b)\left(\sin \left(ax+b\right)\right)^{'} =a\cos \left(ax+b\right) et (cos⁡(ax+b))′=−asin⁡(ax+b)\left(\cos \left(ax+b\right)\right)^{'} =-a\sin \left(ax+b\right)
    • ff est dérivable sur R\mathbb{R}
    f′(x)=2×(−π)×sin⁡(πx−3)f'\left(x\right)=2\times\left(-\pi\right)\times\sin \left(\pi x-3\right)
    f′(x)=−2πsin⁡(πx−3)f'\left(x\right)=-2\pi \sin \left(\pi x-3\right)
    Question 12

    f(x)=sin⁡2(3x−π)f\left(x\right)=\sin ^{2} \left(3x-\pi \right)

    Correction
  • (sin⁡(x))′=cos⁡(x)\left(\sin \left(x\right)\right)^{'} =\cos \left(x\right) et (cos⁡(x))′=−sin⁡(x)\left(\cos \left(x\right)\right)^{'} =-\sin \left(x\right)
  • (sin⁡(ax+b))′=acos⁡(ax+b)\left(\sin \left(ax+b\right)\right)^{'} =a\cos \left(ax+b\right) et (cos⁡(ax+b))′=−asin⁡(ax+b)\left(\cos \left(ax+b\right)\right)^{'} =-a\sin \left(ax+b\right)
    • ff est dérivable sur R\mathbb{R}
    On reconnaît la forme (un)′=nu′un−1\left(u^{n} \right)^{'} =nu'u^{n-1} avec u(x)=sin⁡(3x−π)u\left(x\right)=\sin \left(3x-\pi \right) et n=2n=2.
    Ainsi u′(x)=3cos⁡(3x−π)u'\left(x\right)=3\cos \left(3x-\pi \right)
    Il vient alors que
    f′(x)=6cos⁡(3x−π)sin⁡(3x−π)f'\left(x\right)=6\cos \left(3x-\pi \right)\sin \left(3x-\pi \right)
    Question 13

    f(x)=sin⁡(2x)xf\left(x\right)=\frac{\sin \left(2x\right)}{x}

    Correction
  • (sin⁡(x))′=cos⁡(x)\left(\sin \left(x\right)\right)^{'} =\cos \left(x\right) et (cos⁡(x))′=−sin⁡(x)\left(\cos \left(x\right)\right)^{'} =-\sin \left(x\right)
  • (sin⁡(ax+b))′=acos⁡(ax+b)\left(\sin \left(ax+b\right)\right)^{'} =a\cos \left(ax+b\right) et (cos⁡(ax+b))′=−asin⁡(ax+b)\left(\cos \left(ax+b\right)\right)^{'} =-a\sin \left(ax+b\right)
    • ff est dérivable sur R∗\mathbb{R}^{*}
    On reconnaît la forme (uv)′=u′v−uv′v2\left(\frac{u}{v} \right)^{'} =\frac{u'v-uv'}{v^{2} } avec u(x)=sin⁡(2x)u\left(x\right)=\sin \left(2x\right) et v(x)=xv\left(x\right)=x.
    Ainsi u′(x)=2cos⁡(2x)u'\left(x\right)=2\cos \left(2x\right) et v′(x)=1v'\left(x\right)=1.
    Il vient alors que
    f′(x)=2xcos⁡(2x)−sin⁡(2x)x2f'\left(x\right)=\frac{2x\cos \left(2x\right)-\sin \left(2x\right)}{x^{2} }

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