Développement et formules d'addition - Exercice 1

6 min
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Question 1

Soit x∈Rx\in \mathbb{R} et soit f(x)=3cos⁡(x+π6)f\left(x\right)=\sqrt{3} \cos \left(x+\frac{\pi }{6} \right). En utilisant une formule d'addition, développer l'expression de ff.

Correction
f(x)=3cos⁡(x+π6)f\left(x\right)=\sqrt{3} \cos \left(x+\frac{\pi }{6} \right)
  • cos⁡(A+B)=cos⁡(A)cos⁡(B)−sin⁡(A)sin⁡(B)\cos \left(A+B\right)=\cos \left(A\right)\cos \left(B\right)-\sin \left(A\right)\sin \left(B\right)
    • Ce qui nous donne :
    f(x)=3(cos⁡(x)cos⁡(π6)−sin⁡(x)sin⁡(π6))f\left(x\right)=\sqrt{3} \left(\cos \left(x\right)\cos \left(\frac{\pi }{6} \right)-\sin \left(x\right)\sin \left(\frac{\pi }{6} \right)\right)
    f(x)=3(cos⁡(x)×32−sin⁡(x)×12)f\left(x\right)=\sqrt{3} \left(\cos \left(x\right)\times \frac{\sqrt{3} }{2} -\sin \left(x\right)\times \frac{1 }{2} \right)
    f(x)=3×cos⁡(x)×32−3×sin⁡(x)×12f\left(x\right)=\sqrt{3} \times \cos \left(x\right)\times \frac{\sqrt{3} }{2} -\sqrt{3} \times \sin \left(x\right)\times \frac{1}{2}
    f(x)=cos⁡(x)×(3)22−sin⁡(x)×32f\left(x\right)=\cos \left(x\right)\times \frac{\left(\sqrt{3} \right)^{2} }{2} -\sin \left(x\right)\times \frac{\sqrt{3} }{2}
    Ainsi :
    f(x)=32cos⁡(x)−32sin⁡(x)f\left(x\right)=\frac{3}{2}\cos \left(x\right) -\frac{\sqrt{3} }{2}\sin \left(x\right)
    Question 2

    Soit x∈Rx\in \mathbb{R} et soit f(x)=2cos⁡(x−π4)f\left(x\right)=\sqrt{2} \cos \left(x-\frac{\pi }{4} \right). En utilisant une formule d'addition, développer l'expression de ff.

    Correction
    f(x)=2cos⁡(x−π4)f\left(x\right)=\sqrt{2} \cos \left(x-\frac{\pi }{4} \right)
  • cos⁡(A−B)=cos⁡(A)cos⁡(B)+sin⁡(A)sin⁡(B)\cos \left(A-B\right)=\cos \left(A\right)\cos \left(B\right)+\sin \left(A\right)\sin \left(B\right)
    • Ce qui nous donne :
    f(x)=2(cos⁡(x)cos⁡(π4)+sin⁡(x)sin⁡(π4))f\left(x\right)=\sqrt{2} \left(\cos \left(x\right)\cos \left(\frac{\pi }{4} \right)+\sin \left(x\right)\sin \left(\frac{\pi }{4} \right)\right)
    f(x)=2(cos⁡(x)×22+sin⁡(x)×22)f\left(x\right)=\sqrt{2} \left(\cos \left(x\right)\times \frac{\sqrt{2} }{2} +\sin \left(x\right)\times \frac{\sqrt{2} }{2} \right)
    f(x)=2×cos⁡(x)×22+2×sin⁡(x)×22f\left(x\right)=\sqrt{2} \times \cos \left(x\right)\times \frac{\sqrt{2} }{2} +\sqrt{2} \times \sin \left(x\right)\times \frac{\sqrt{2} }{2}
    f(x)=cos⁡(x)×(2)22+sin⁡(x)×(2)22f\left(x\right)=\cos \left(x\right)\times \frac{\left(\sqrt{2} \right)^{2} }{2} +\sin \left(x\right)\times \frac{\left(\sqrt{2} \right)^{2} }{2}
    f(x)=cos⁡(x)×22+sin⁡(x)×22f\left(x\right)=\cos \left(x\right)\times \frac{2}{2} +\sin \left(x\right)\times \frac{2}{2}
    Ainsi :
    f(x)=cos⁡(x)+sin⁡(x)f\left(x\right)=\cos \left(x\right)+\sin \left(x\right)

    Question 3

    Soit x∈Rx\in \mathbb{R} et soit f(x)=2sin⁡(3x+3π4)f\left(x\right)=\sqrt{2} \sin \left(3x+\frac{3\pi }{4} \right) . En utilisant une formule d'addition, développer l'expression de ff.

    Correction
    f(x)=2sin⁡(3x+3π4)f\left(x\right)=\sqrt{2} \sin \left(3x+\frac{3\pi }{4} \right)
  • sin⁡(A+B)=sin⁡(A)cos⁡(B)+sin⁡(B)cos⁡(A)\sin \left(A+B\right)=\sin \left(A\right)\cos \left(B\right)+\sin \left(B\right)\cos \left(A\right)
    • Ce qui nous donne :
    f(x)=2(sin⁡(3x)cos⁡(3π4)+sin⁡(3π4)cos⁡(3x))f\left(x\right)=\sqrt{2} \left(\sin \left(3x\right)\cos \left(\frac{3\pi }{4} \right)+\sin \left(\frac{3\pi }{4} \right)\cos \left(3x\right)\right)
    f(x)=2(sin⁡(3x)×(−22)+22×cos⁡(3x))f\left(x\right)=\sqrt{2} \left(\sin \left(3x\right)\times \left(-\frac{\sqrt{2} }{2} \right)+\frac{\sqrt{2} }{2} \times \cos \left(3x\right)\right)
    f(x)=2(−22sin⁡(3x)+22cos⁡(3x))f\left(x\right)=\sqrt{2} \left(-\frac{\sqrt{2} }{2} \sin \left(3x\right)+\frac{\sqrt{2} }{2} \cos \left(3x\right)\right)
    f(x)=2×(−22)sin⁡(3x)+2×(22)cos⁡(3x)f\left(x\right)=\sqrt{2} \times \left(-\frac{\sqrt{2} }{2} \right)\sin \left(3x\right)+\sqrt{2} \times \left(\frac{\sqrt{2} }{2} \right)\cos \left(3x\right)
    f(x)=−(2)22sin⁡(3x)+(2)22cos⁡(3x)f\left(x\right)=-\frac{\left(\sqrt{2} \right)^{2} }{2} \sin \left(3x\right)+\frac{\left(\sqrt{2} \right)^{2} }{2} \cos \left(3x\right)
    f(x)=−22sin⁡(3x)+22cos⁡(3x)f\left(x\right)=-\frac{2}{2} \sin \left(3x\right)+\frac{2}{2} \cos \left(3x\right)
    f(x)=−sin⁡(3x)+cos⁡(3x)f\left(x\right)=-\sin \left(3x\right)+\cos \left(3x\right)
    Ainsi :
    f(x)=cos⁡(3x)−sin⁡(3x)f\left(x\right)=\cos \left(3x\right)-\sin \left(3x\right)

    Question 4

    Soit x∈Rx\in \mathbb{R} et soit f(x)=3sin⁡(4x−2π3)f\left(x\right)=\sqrt{3} \sin \left(4x-\frac{2\pi }{3} \right) . En utilisant une formule d'addition, développer l'expression de ff.

    Correction
    f(x)=3sin⁡(4x−2π3)f\left(x\right)=\sqrt{3} \sin \left(4x-\frac{2\pi }{3} \right)
  • sin⁡(A−B)=sin⁡(A)cos⁡(B)−sin⁡(B)cos⁡(A)\sin \left(A-B\right)=\sin \left(A\right)\cos \left(B\right)-\sin \left(B\right)\cos \left(A\right)
    • Ce qui nous donne :
    f(x)=3(sin⁡(4x)cos⁡(2π3)−sin⁡(2π3)cos⁡(4x))f\left(x\right)=\sqrt{3} \left(\sin \left(4x\right)\cos \left(\frac{2\pi }{3} \right)-\sin \left(\frac{2\pi }{3} \right)\cos \left(4x\right)\right)
    f(x)=3(sin⁡(4x)×(−12)−32×cos⁡(4x))f\left(x\right)=\sqrt{3} \left(\sin \left(4x\right)\times \left(-\frac{1}{2} \right)-\frac{\sqrt{3} }{2} \times \cos \left(4x\right)\right)
    f(x)=3(−12sin⁡(4x)−32cos⁡(4x))f\left(x\right)=\sqrt{3} \left(-\frac{1}{2} \sin \left(4x\right)-\frac{\sqrt{3} }{2} \cos \left(4x\right)\right)
    f(x)=−32sin⁡(4x)−(3)22cos⁡(4x)f\left(x\right)=-\frac{\sqrt{3} }{2} \sin \left(4x\right)-\frac{\left(\sqrt{3} \right)^{2} }{2} \cos \left(4x\right)
    Ainsi :
    f(x)=−32sin⁡(4x)−32cos⁡(4x)f\left(x\right)=-\frac{\sqrt{3} }{2} \sin \left(4x\right)-\frac{3}{2} \cos \left(4x\right)

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