Exercices types : $$1$$^ère partie - Exercice 1

$$f$$ est dérivable sur $$I=\left[0,+\infty \right[$$ et pour tout réel $$x\in I$$ $$f'\left(x\right)=1-\cos \left(x\right)$$
Or, pour tout réel $$x\in I$$, $$-1\le -\cos \left(x\right)\le 1\Leftrightarrow 0\le -\cos \left(x\right)+1\le 2$$.
Ainsi : $$0\le f'\left(x\right)\le 2$$.
Donc $$f'\left(x\right)\ge 0$$ pour tout réel $$x\in I$$.
Finalement, la fonction $$f$$ est croissante sur $$\left[0,+\infty \right[$$.

On calcule $$f\left(0\right)$$.
$$f\left(0\right)=0-\sin \left(0\right)\Leftrightarrow$$
On traduit cela dans un tableau de variation :
Il en résulte que le minimum de $$f$$ vaut $$0$$ quand $$x=0$$.
Il vient alors que $$f\left(x\right)\ge 0$$.
Autrement dit

$$g$$ est dérivable sur $$I=\left[0,+\infty \right[$$ et pour tout réel $$x\in I$$
D'après la question $$2$$, pour tout réel $$x\in I$$, on a $$x-\sin \left(x\right)\ge 0$$
Donc $$g'\left(x\right)\ge 0$$ pour tout réel $$x\in I$$.
Finalement, la fonction $$g$$ est croissante sur $$\left[0,+\infty \right[$$.
De plus, $$g\left(0\right)=\cos \left(0\right)-1+\frac{0^{2} }{2} \Leftrightarrow$$
On en déduit le tableau de variation de $$g$$ :

L'inégalité $$\cos \left(x\right)\le 1$$ est évidente. En effet,pour tout $$x\in I$$, on sait que : $$-1\le \cos \left(x\right)\le 1$$
Comme $$g\left(0\right)=0$$, et que $$g$$ est croissante sur $$\left[0,+\infty \right[$$, alors $$g\left(x\right)\ge 0$$
Ainsi : $$\cos \left(x\right)-1+\frac{x^{2} }{2} \ge 0$$
D'où : $$\cos \left(x\right)\ge 1-\frac{x^{2} }{2}$$.
Finalement, pour tout réel $$x$$ de l'intervalle $$I$$, on a :