Exercices types : $$1$$^ère partie - Exercice 2

Commençons par factoriser $$f$$.
Pour tout réel $$x\in \left[-\frac{\pi }{2} ;\frac{\pi }{2} \right]$$, on a $$f\left(x\right)=\sin \left(x\right)\left(1-\sin \left(x\right)\right)$$
Pour tout réel $$x\in \left[-\frac{\pi }{2} ;\frac{\pi }{2} \right]$$
$$-1\le \sin \left(x\right)\le 1$$ équivaut successivement
$$-1\le -\sin \left(x\right)\le 1$$
$$0\le 1-\sin \left(x\right)\le 2$$
Il en résulte que le signe de $$f\left(x\right)$$ est celui de $$\sin \left(x\right)$$.
Or si $$x\in \left[-\frac{\pi }{2} ;0\right]$$ alors $$\sin \left(x\right)\le 0$$ et si $$x\in \left[0;\frac{\pi }{2} \right]$$ alors $$\sin \left(x\right)\ge 0$$.
On en déduit donc le tableau de signe de $$f$$ :

$$f$$ est dérivable sur $$\left[-\frac{\pi }{2} ;\frac{\pi }{2} \right]$$ et pour tout $$x\in \left[-\frac{\pi }{2} ;\frac{\pi }{2} \right]$$, on a :
$$f'\left(x\right)=\cos \left(x\right)-2\sin \left(x\right)\cos \left(x\right).$$
On factorise par $$\cos \left(x\right)$$, d'où :
Pour tout $$x\in \left[-\frac{\pi }{2} ;\frac{\pi }{2} \right]$$, $$\cos \left(x\right)\ge 0$$ donc le signe de $$f'\left(x\right)$$ est celui de $$1-2\sin \left(x\right)$$.
Pour l'étude du signe de $$(1-2\sin \left(x\right))$$, on commence par résoudre $$(1-2\sin \left(x\right))=0$$ sur $$\left[-\frac{\pi }{2} ;\frac{\pi }{2} \right]$$
$$(1-2\sin \left(x\right))=0\Leftrightarrow \sin \left(x\right)=\frac{1}{2} .$$
Or $$\sin \left(\frac{\pi }{6} \right)=\frac{1}{2}$$, ainsi $$\sin \left(x\right)=\sin \left(\frac{\pi }{6} \right)$$
$$\sin \left(x\right)=\sin \left(\frac{\pi }{6} \right)\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{ccc} {x} & {=} & {\frac{\pi }{6} +2k\pi } \\ {} & {{\text{ou}}} & {} \\ {x} & {=} & {\pi -\frac{\pi }{6} +2k\pi } \end{array}\right.$$ avec $$k\in \mathbb{R}$$.
Ainsi : $$\sin \left(x\right)=\sin \left(\frac{\pi }{6} \right)\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{ccc} {x} & {=} & {\frac{\pi }{6} +2k\pi } \\ {} & {{\text{ou}}} & {} \\ {x} & {=} & {\frac{5\pi }{6} +2k\pi } \end{array}\right.$$
Donc la solution sur $$\left[-\frac{\pi }{2} ;\frac{\pi }{2} \right]$$ est $$S=\left\{\frac{\pi }{6} \right\}$$
Maintenant, résolvons $$(1-2\sin \left(x\right)) \ge 0$$ afin de savoir sur quelle intervalle la dérivée est positive.
On représentera ensuite ces informations dans un cercle trigonométrique.
$$(1-2\sin \left(x\right)) \ge 0\Leftrightarrow \sin \left(x\right)\le \frac{1}{2}$$

Avec :
$$f\left(\frac{-\pi }{2} \right)=\sin \left(\frac{-\pi }{2} \right)-\sin ^{2} \left(\frac{-\pi }{2} \right)$$ d'où :
$$f\left(\frac{\pi }{6} \right)=\sin \left(\frac{\pi }{6} \right)-\sin ^{2} \left(\frac{\pi }{6} \right)$$ d'où $$f\left(\frac{\pi }{6} \right)=\frac{1}{4}$$
$$f\left(\frac{\pi }{2} \right)=\sin \left(\frac{\pi }{2} \right)-\sin ^{2} \left(\frac{\pi }{2} \right)$$ d'où $$f\left(\frac{\pi }{2} \right)=0$$