Rappels - Exercice 2

15 min
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En remarquant que 7π12=π3+π4\frac{7\pi }{12} =\frac{\pi }{3} +\frac{\pi }{4}
Question 1

Déterminer les valeurs de cos⁡(7π12)\cos \left(\frac{7\pi }{12} \right) et de sin⁡(7π12)\sin \left(\frac{7\pi }{12} \right)

Correction
cos⁡(7π12)=cos⁡(π3+π4)\cos \left(\frac{7\pi }{12} \right)=\cos \left(\frac{\pi }{3} +\frac{\pi }{4} \right). Ainsi :
cos⁡(π3+π4)=cos⁡(π3)cos⁡(π4)−sin⁡(π3)sin⁡(π4)\cos \left(\frac{\pi }{3} +\frac{\pi }{4} \right)=\cos \left(\frac{\pi }{3} \right)\cos \left(\frac{\pi }{4} \right)-\sin \left(\frac{\pi }{3} \right)\sin \left(\frac{\pi }{4} \right)
cos⁡(π3+π4)=12×22−32×22\cos \left(\frac{\pi }{3} +\frac{\pi }{4} \right)=\frac{1}{2} \times \frac{\sqrt{2} }{2} -\frac{\sqrt{3} }{2} \times \frac{\sqrt{2} }{2}
Finalement :
cos⁡(7π12)=24−64\cos \left(\frac{7\pi }{12} \right)=\frac{\sqrt{2} }{4} -\frac{\sqrt{6} }{4}

sin⁡(7π12)=sin⁡(π3+π4)\sin \left(\frac{7\pi }{12} \right)=\sin \left(\frac{\pi }{3} +\frac{\pi }{4} \right). Ainsi :
sin⁡(π3+π4)=cos⁡(π3)sin⁡(π4)+sin⁡(π3)cos⁡(π4)\sin \left(\frac{\pi }{3} +\frac{\pi }{4} \right)=\cos \left(\frac{\pi }{3} \right)\sin \left(\frac{\pi }{4} \right)+\sin \left(\frac{\pi }{3} \right)\cos \left(\frac{\pi }{4} \right)
sin⁡(π3+π4)=12×22+32×22\sin \left(\frac{\pi }{3} +\frac{\pi }{4} \right)=\frac{1}{2} \times \frac{\sqrt{2} }{2} +\frac{\sqrt{3} }{2} \times \frac{\sqrt{2} }{2}
Finalement :
sin⁡(7π12)=24+64\sin \left(\frac{7\pi }{12} \right)=\frac{\sqrt{2} }{4} +\frac{\sqrt{6} }{4}
Question 2

En déduire les valeurs de cos⁡(π12)\cos \left(\frac{\pi }{12} \right) et de sin⁡(π12)\sin \left(\frac{\pi }{12} \right)

Correction
On remarque que π12=7π12−π2\frac{\pi }{12} =\frac{7\pi }{12} -\frac{\pi }{2} .
Or cos⁡(x−π2)=sin⁡(x)\cos \left(x-\frac{\pi }{2} \right)=\sin \left(x\right) et sin⁡(x−π2)=−cos⁡(x)\sin \left(x-\frac{\pi }{2} \right)=-\cos \left(x\right)
 D’une part :\red{\text{ D'une part :}}
cos⁡(π12)=cos⁡(7π12−π2)\cos \left(\frac{\pi }{12} \right)=\cos \left(\frac{7\pi }{12} -\frac{\pi }{2} \right) d'où cos⁡(π12)=sin⁡(7π12)\cos \left(\frac{\pi }{12} \right)=\sin \left(\frac{7\pi }{12} \right) donc
cos⁡(π12)=24+64\cos \left(\frac{\pi }{12} \right)=\frac{\sqrt{2} }{4} +\frac{\sqrt{6} }{4}

 D’autre part :\red{\text{ D'autre part :}}
sin⁡(π12)=sin⁡(7π12−π2)\sin \left(\frac{\pi }{12} \right)=\sin \left(\frac{7\pi }{12} -\frac{\pi }{2} \right) d'où sin⁡(π12)=−cos⁡(7π12)\sin \left(\frac{\pi }{12} \right)=-\cos \left(\frac{7\pi }{12} \right) donc
sin⁡(π12)=−24+64\sin \left(\frac{\pi }{12} \right)=\frac{-\sqrt{2} }{4} +\frac{\sqrt{6} }{4}

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